Содержание
- 2. РЕКОМЕНДУЕМАЯ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА курса строительной механики У ч е б н и к и: 1. Погорелов
- 3. Строительная механика – наука, занимающаяся разработкой принципов и методов расчёта сооружений и конструкций, представляющих собой системы,
- 4. С точки зрения строительной механики под расчётом конструкции в целом или ее составляющих частей понимается определение
- 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ механика Стержневых Пластин Комбинированных систем и оболочек систем Математика Детали машин И механизмов Конструкция самолета
- 6. 1. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ 1.1 Теория деформаций Обозначим компоненты смещения произвольной точки тела с декартовыми
- 7. При совмещении направлений ρ, ρ1, ρ2 с координатами х, у, z из формул следуют геометрические соотношения
- 8. Соотношение Коши определяют шесть компонент деформаций через частные производные от трех функций u, v, w. Отсюда
- 9. 1.2 Теория напряжений Интенсивность усилий, возни-кающих на выделенной внутри тела произвольной площадке, представ-ляется в виде трех
- 10. Основными законами, связывающими компоненты напряжений, являются уравнения равновесия. Для получения их выделим из тела элементарный тетраэдр
- 11. Полученные формулы показывают, что напряженное состояние в произвольной точке тела полностью определяется шестью компонентами напряжений (с
- 12. Рассмотрим равновесие некоторой произвольной части тела. Пусть объем этой части v и силы, действующие на каждую
- 13. Первые интегралы в этих равенствах берутся по полной поверхности рассматриваемой части тела и на основании теоремы
- 14. В скалярной форме формула имеет вид: где dV, dS – дифференциалы объема и поверхности соответственно, l,
- 15. Полученные равенства должны тождественно выполняться для любого объема v, выделенного из тела и при любой внешней
- 16. Уравнения равновесия также могут быть получены и непосредственно как условия равновесия бесконечно малого элемента, выделенного из
- 17. Физические соотношения Физические зависимости в линейной теории упругости для изотропного тела представлены уравнениями обобщенного закона Гука
- 18. Подставляя значения упругих деформаций получим уравнения закона Гука при температурном воздействии или в форме, разрешенной относительно
- 19. Таким образом, полная система уравнений теории упругости включает 15 уравнений: три уравнения равновесия, - шесть геометрических
- 20. 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ И В НАПРЯЖЕНИЯХ В теории упругости используются две классические формы
- 21. Решение полученных уравнений должно удовлетворять граничным условиям: геометрические граничные условия (перемещения отдельных точек тела) накладываются непосредственно
- 22. Решение задачи в напряжениях Решение задачи в напряжениях предусматривает введение в качестве основных неизвестных шести компонент
- 23. Для того чтобы некая равновесная система деформаций была совместной, необходимо, чтобы деформации были связаны некоторыми соотношениями,
- 24. В результате преобразования с помощью уравнений равновесия, в которых отсутствуют объемные силы, уравнения совместности деформаций могут
- 25. Действительно, подставляя в условия совместности Сен-Венана функции деформации, выраженные с помощью геометрических соотношений Коши через три
- 26. 3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ Рассмотрим непрерывное упругое тело, находящееся под внешним силовым и температурным
- 27. Выделяя из тела бесконечно малый параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и заменяя влияние отброшенных частей
- 28. Подсчитаем сначала работу сил, действующих в направлении оси х. Пусть левая грань под нагрузкой переместилась на
- 29. Суммируя работу всех сил, представленных в таблице, найдем: Аналогичным образом подсчитывая работу всех сил, действующих вдоль
- 30. Приращение работы упругих сил, собранное со всей совокупности параллелепипедов и тетраэдров, выразится теперь так: Подставляя сюда
- 31. Заменяя производные от приращений перемещений через приращения деформаций с помощью соотношений Коши, окончательно будем иметь: В
- 32. Следует сделать оговорку о том, что введенное понятие упругого потенциала в рамках термоупругой задачи закономерно лишь
- 33. 4. ВАРИАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ Согласно изложенному выше истинные напряжения, деформации и перемещения, реализующиеся в
- 34. 4.1 Полная энергия упругой системы Для построения вариационных принципов потребуется понятие полной энергии Э, которую формально
- 35. Преобразуем поверхностный интеграл J в объемный J1 на основании формулы Остроградского-Гаусса: и, кроме того, введем в
- 36. Подставляя выражения для соответствующих интегралов, получим: Отметим, еще раз, что входящие в данное выражение компоненты перемещений,
- 37. 4.2 Вариационный принцип Лагранжа Вариационный принцип Лагранжа позволяет сформулировать энергетический признак, выделяющий истинную систему перемещений, возникающую
- 38. Экстремальное значение функционала реализуется обращением в нуль главной линейной части приращения функционала — первой вариации: причем,
- 39. Так как перемещения должны быть кинематически возможными, то, следовательно, должны удовлетворяться соотношения Коши и третий интеграл
- 40. Сокращая первый и последний интегралы, окончательно получим: Поскольку вариации δи, δv, δw произвольны и взаимно независимы,
- 41. Минимизируя данный функционал методами вариационного исчисления, можно получить три уравнения относительно функций u, v, w и
- 42. 4.3 Пример1. Задача об изгибе балки Для иллюстрации принципа Лагранжа рассмотрим задачу об изгибе балки, показанной
- 43. Введем закон плоских сечений, согласно которому сечение х=const не деформируется вдоль оси у и остается плоским
- 44. Согласно принципу Лагранжа и вариационного исчисления имеем: Интегрируя по частям дважды второе слагаемое под знаком интеграла
- 45. Полученные уравнения являются уравнениями Эйлера — Лагранжа для рассматриваемого функционала, а внеинтегральные члены — естественными граничными
- 46. Два первых уравнения являются уравнениями равновесия: первое — уравнением упругой линии балки, а второе — уравнением
- 47. 5. ВАРИАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В НАПРЯЖЕНИЯХ В соответствии с изложенным ранее при решении задачи в напряжениях
- 48. Подставляя функции деформации согласно закону Гука и интегрируя, получим: Дифференцирование данного выражения по компонентам напряжений дает
- 49. Таким образом, при отсутствии температурного воздействия для линейно-упругого тела . Из геометрического смысла интегралов следует, что
- 50. 5.2 Вариационный принцип Кастильяно Введем теперь по аналогии выражение полной энергии, записанной через дополнительную энергию Основной
- 51. Из равенств и имеем: Находим выражение для из зависимостей Выражение для получаем варьируя напряжения в зависимости
- 52. Отметим, что объемные силы X, Y, Z, входящие в уравнения равновесия и в первый интеграл полученного
- 53. Таким образом, в выражении для остается только последний интеграл, который принимает вид: Отметим, что при варьировании
- 54. Отметим, что согласно определения функции напряжений выражаются через вторые производные от функций напряжений. Значения их первых
- 55. Для аналитической записи принципа Кастильяно воспользуемся соотношением Применяя к первому интегралу формулу Остроградского и учитывая, что
- 56. 5.3 Принцип наименьшей работы На практике обычно используется частная форма записи принципа Кастильяно, называемая принципом наименьшей
- 57. Для реализации принципа наименьшей работы необходимо записать условие минимума дополнительной потенциальной энергии, выраженной через напряжения. Согласно
- 58. 5.4 Пример 2. Стержневая система Рассмотрим стержневую систему, показанную на рис. а. При действии силы Р
- 59. Для определения усилий необходимо записать условие совместности деформации стержней, которое следует непосредственно из рис. а и
- 60. Решение с использованием принципа наименьшей работы Исходный функционал Так как все стержни работают на растяжение, то
- 61. Исключаем из выражения для дополнительной потенциальной энергии N2 с помощью уравнения равновесия: записываем условие минимума функции
- 62. 5.5 Теорема Кастильяно Будем рассматривать произвольную деформируемую систему, находящуюся под внешним воздействием, напряженное состояние которой определено
- 63. Дополнительная потенциальная энергия в рассматриваемом случае будет функцией приложенной силы Pk и, следовательно, ее вариация примет
- 64. 5.6 Пример 2. Стержневая система (продолжение) Покажем как при помощи теоремы Кастильяно можно найти перемещение точки
- 65. Отсюда по теореме Кастильяно
- 66. 5.7 Пример 3. Консольная балка Рассмотрим пример определения прогиба на конце консольной балки постоянной жесткости ЕJ,
- 67. Для определения дополнительной потенциальной энергии воспользуемся выражением Так как работа перерезывающих сил намного меньше работы изгибающего
- 68. Интеграл в полученном выражении есть момент инерции сечения J. Интегрируем полученное выражение. Для нахождения перемещения используем
- 69. 6. СМЕШАННЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В предыдущих вопросах были рассмотрены принципы возможных изменений деформированного состояния (принцип Лагранжа)
- 70. Согласно принципу наименьшей работы . Отметим, что при этом можно варьировать как множители Лагранжа (т. е.
- 71. Ввиду того, что вариации напряжений произвольны и независимы, следует: Сопоставляя эти равенства с соотношениями Коши и
- 72. 7. Общие замечания относительно рассмотренных вариационных принципов. Из рассмотренного следует, что эти принципы позволяют по существу
- 74. Скачать презентацию