Слайд 2
![Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-1.jpg)
Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают
так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер.
Слайд 3
![Внешняя сила периодически изменяется по гармоническому закону По II закону](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-2.jpg)
Внешняя сила периодически изменяется по гармоническому закону
По II закону Ньютона имеем:
Разделив
это уравнение на m, и перенеся члены с x и F в левую часть, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Слайд 4
![Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-3.jpg)
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
Слайд 5
![Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-4.jpg)
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения
и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.
Слайд 6
![Общее решение уравнения вынужденных колебаний таково:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-5.jpg)
Общее решение уравнения вынужденных колебаний таково:
Слайд 7
![Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет свободные колебания.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-6.jpg)
Первое слагаемое в правой части этой формулы представляет свободные колебания. Их
частота ω0 определяется внутренними свойствами системы, а амплитуда А0 и фаза φ’ — начальными условиями и внешними воздействиями.
Второе слагаемое, называемое вынужденными колебаниями, обусловлено наличием внешней (вынуждающей) силы.
Слайд 8
![Амплитуда вынужденных колебаний Фаза вынужденных колебаний](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-7.jpg)
Амплитуда вынужденных колебаний
Фаза вынужденных колебаний
Слайд 9
![Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-8.jpg)
Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при
так называемом установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль первого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое
Слайд 10
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-9.jpg)
Слайд 11
![Установившиеся колебания – гармонические с частотой, равной частоте вынуждающей силы.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-10.jpg)
Установившиеся колебания – гармонические с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда
вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.
Слайд 12
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-11.jpg)
Слайд 13
![Частное решение уравнения вынужденных колебаний можно получить с помощью векторной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-12.jpg)
Частное решение уравнения вынужденных колебаний можно получить с помощью векторной диаграммы.
Продифференцируем уравнение
и подставим результат в уравнение вынужденных колебаний. Получим:
Слайд 14
![Вынужденные колебания На рисунке показана векторная диаграмма.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-13.jpg)
Вынужденные колебания
На рисунке показана векторная диаграмма.
Слайд 15
![Уравнение колебательного контура](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-14.jpg)
Уравнение колебательного
контура
Слайд 16
![Полное сопротивление колебательного контура Из закона Ома для участка цепи переменного тока: Реактивное сопротивление](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-15.jpg)
Полное сопротивление
колебательного контура
Из закона Ома для участка цепи переменного тока:
Реактивное сопротивление
Слайд 17
![Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения (отношение реактивного сопротивления к активному):](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-16.jpg)
Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения (отношение реактивного сопротивления
к активному):
Слайд 18
![РЕЗОНАНС Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-17.jpg)
РЕЗОНАНС
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому,
что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, соответствующая частота – резонансной частотой.
Слайд 19
![Чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функции определяющей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-18.jpg)
Чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функции определяющей зависимость
амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Слайд 20
![Продифференцировав выражение по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее ωрез:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-19.jpg)
Продифференцировав выражение
по ω и приравняв нулю, получим условие, определяющее ωрез:
Слайд 21
![Данное уравнение имеет три решения: ω=0 и Решение равное нулю,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-20.jpg)
Данное уравнение имеет три решения: ω=0 и
Решение равное нулю, соответствует
максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не подходит, как не имеющее физического смысла. В результате, для резонансной частоты получается значение:
Слайд 22
![Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-21.jpg)
Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0, возникает
резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, то есть возникает резонанс. Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.
Слайд 23
![РЕЗОНАНС](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-22.jpg)
Слайд 24
![При очень большом затухании выражение для резонансной частоты становится мнимым.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-23.jpg)
При очень большом затухании выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это
означает, что при этих условиях резонанс не наблюдается – с увеличением частоты амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает.
Слайд 25
![При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-24.jpg)
При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и
тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному
то есть . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F0 .
Слайд 26
![При резонансе амплитуда Арез колебания может во много раз превосходить](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-25.jpg)
При резонансе амплитуда Арез колебания может во много раз превосходить амплитуду
А колебаний свободного конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать.
Слайд 27
![В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-26.jpg)
В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней
силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. У колебательных систем с не очень высокой добротностью (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот
Слайд 28
![Зависимость φ от ω при различных значения коэффициента затухания β. Частоте ω0 соответствует φ=π/2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-27.jpg)
Зависимость φ от ω при различных значения коэффициента затухания β. Частоте
ω0 соответствует φ=π/2.
Слайд 29
![Параметрический резонанс заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-28.jpg)
Параметрический резонанс заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом изменении
какого-либо параметра системы, вследствие чего само явление называется параметрическим резонансом. Пример – маятник с изменяющейся нитью.
Слайд 30
![Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-29.jpg)
Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую
совершает сила, действующая на нить.
Сила натяжения нити при колебаниях маятника непостоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника максимальна.
Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая при укорочении маятника.
В итоге работа внешней силы за период оказывается больше нуля.
Слайд 31
![Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/21717/slide-30.jpg)
Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний.
В случае автоколебаний в системе
предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями "поставляет" в систему небольшие порции энергии из некоторого резервуара энергии. Тем самым поддерживаются собственные колебания, которые не затухают. В случае автоколебаний система как бы сама себя подталкивает.