Cтатистические показатели и средние презентация

Статистические показатели
Статистические показатели – это количественные величины, характе-ризующие в целом эмпирические данные Статистические показатели
абсолютные относительные средние
Абсолютные показатели – выражают абсолютные размеры явлений и процессов и получаются в результате сводки и группировки (кг., руб.)
Относительные показатели – это частное от деления двух статисти-ческих величин, характеризующее количественное соотношение между ними
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Виды относительных показателей
1) Выполнения договорных обязательств:
2) Структуры:
3) Сравнения
4) Координации
5) Интенсивности
6) Динамики Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Вычисление цепных и базисных показателей динамики (2003 г. - базисный)
Темп роста – это отношение текущего показателя к показателю, выбранному за базу сравнения.
Темп прироста – это темп роста минус единица (или минус 100 %).
Темп роста производства в 2004 г. по сравнению с 2003 г. равен: (250 / 200)*100% = 125%, а темп прироста 125% - 100% = 25%.
При анализе показателей динамики нужно всегда смотреть на базу сравнения. Если она разная, то эти показатели вообще нельзя сравнивать, если она одинаковая, то сравнивать можно, но не в процентах, а в процентных пунктах.
Пример. На сколько выросло производство продукции в 2005 г. по сравнению с 2004 г.? Неправильный ответ: на 25%. Правильный ответ: на 25 процентных пунктов, или на (300-250)/250 = (150-125)/125 = 20 %.
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Средние
Средние – это обобщающие показатели, отражающие наиболее типичный уровень варьирующего признака качественно однородных единиц совокупности.
Выделяют степенные средние и структурные средние.
Макет формулы степенной средней:
простая взвешенная
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Средняя арифметическая
Средняя арифметическая простая используется тогда, когда значение признака относится к отдельным единицам наблюдения или к равновеликим группам единиц.
Заработная плата по цехам предприятия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Средняя арифметическая
Средняя арифметическая взвешенная применяется тогда, когда отдельные значения признака встречаются с разной частотой или когда группы не являются равновеликими.
Заработная плата по цехам предприятия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Средняя гармоническая
Средняя гармоническая применяется, если веса равны произведению значения признака на его частоту
Заработная плата по цехам предприятия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Средняя геометрическая
Средняя геометрическая применяется, если значения признака связаны между собой операциями умножения/ деления, а не сложения/ вычитания
Темп роста объёма сбыта по фирме N
Среднегодовой темп роста:
Среднегодовой темп прироста:
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
1,045 – 1= 0,045 или 4,5 %

Средняя геометрическая
Среднегодовой темп роста и прироста можно получить, исходя и из абсолютных значений признака
Объём оказанных услуг по фирме N
Среднегодовой темп роста:
Среднегодовой темп прироста:
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
1,045 – 1= 0,045 или 4,5 %.

Другие степенные средние
Средняя квадратическая простая и взвешенная:
Средняя кубическая простая и взвешенная: Правило мажорантности средних:
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Свойства средней арифметической
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
∑
∑

Структурные средние
Мода – наиболее часто встречающееся значение признака
Медиана – значение признака у серединной единицы ранжированного
ряда
Квартили – значения признаков, разбивающие ряд на 4 равные части по 25 % в каждой; второй квартиль является медианой
Децили – значения признаков, разбивающие ряд на 10 равных частей
Перцентили – значения признаков, делящие ряд на 100 равных частей
Средняя арифметическая, мода и медиана при нормальном (а) и умеренно деформированном (б) распределении
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Расчет моды и медианы в дискретном ряду (несгруппированные данные)
При нечетном числе единиц: ранжированный ряд 10 20 20 25 30
Мо = 20
Ме = 20
При четном числе единиц: ранжированный ряд 10 20 20 25 30 35
Мо = 20
Ме = (20+25)/2 = 22,5
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Расчет средней арифметической, моды и медианы по данным интервального ряда (сгруппированные данные) Производительность труда на предприятии
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Тема 5. Показатели вариации
1. Понятие вариации
2. Показатели вариации
3. Свойства нормального распределения
4. Моменты Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Понятие вариации
Вариация – это колеблемость или изменчивость изучаемого признака
Ряды распределения могут иметь одинаковые средние значения, один и тот же центр группировки, симметричное расположение частот, но разные степени рассеивания
Пример: ряды распределения с разной степень рассеивания
-3 -3 -1 0 0 0 0 1 3 3 -9 -8 -6 0 1 1 2 2 3 14
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
= 0
= 0

Показатели вариации
Размах вариации:
Интерквартильный размах:
Среднее линейное отклонение:
Дисперсия:
Среднее квадратическое (стандартное) отклонение:
Коэффициент вариации:
Соотношение σ и l :
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Пример расчета показателей вариации
Дан ряд: 1; 2; 3; 4; 5.
Тогда:
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Пример расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения по сгруппированным данным
разрядов разряда
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Свойства дисперсии
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
σ2(X - А) = σ2X
σ2(const) = 0
σ2(X / K) = σ2X : k2
σ (X / K) = σX : k

Пример на правило сложения дисперсии
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
общ . = (3∙1 + 4∙2 + 5∙3)/6 = 4,3
α² = (1∙1 + 1∙2 + 3∙3)/6 = 2
σ2общ.= δ2 + α² = 0,56 + 2 = 2,56

Расчет средней арифметической и показателей вариации для качественных (атрибутивных) признаков
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
=
=
(1 – p) = q
Пример. В результате контроля качества из 1000 готовых изделий 20 оказались бракованными. Нужно вычислить дисперсию и стандартное отклонение по данному номинально измеряемому признаку.

Свойства нормального распределения
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
1. Кривая распределения симметрична относительно максимальной
ординаты:
2. Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба
3. В промежутках между:
± σ находится 68,3% всех значений признака
± 2σ находится 95,4% всех значений признака
± 3σ находится 99,7% всех значений признака
± σ

Стандартизированные значения или Z-значения
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Для удобства расчетов в эмпирических исследованиях случайные значения распределения нормируются и преобразовываются в стандартизированные значения – так называемые Z-значения или стандартные оценки:
Среднее значение нормированной теоретической кривая нормального распределения = 0, стандартное отклонение = 1.
Пример. Если величина Х нормально распределена, = 50, σ = 25, то
Z для X = 100 будет (100 – 50)/25 = 2, т.е. превышает среднюю на два стандартных отклонения.

Моменты
Моменты – универсальные характеристики ряда распределения, средние арифметические тех или иных степеней отклонений значений признака от определенной исходной величины А:
При А = 0 момент называется начальным,
При А = момент называется центральным
При А = условной величине момент называется условным
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Симметричность ряда распределения
Если μ3 = 0, то ряд распределения симметричен, если μ3 < 0, то ряд имеет левостороннюю асимметрию, если μ3 > 0, то у ряда правосторонняя асимметрия Ме Мо Мо Ме
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Коэффициент асимметрии Аs:
Если As > 0,5, то асимметрия считается значительной
Если As < 0,35, то асимметрия незначительна
=

Остро- и плосковершинность ряда распределения
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Эксцесс Ex:
Если Ex = 0, то распределение нормальное
Если Ex > 0, то распределение островершинное
Если Ex < 0, то распределение плосковершинное
При Ex < - 2 статистическая совокупность разнородна

Бокс-плотс
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Бокс-плотс – графическое представление медианы, первого и третьего квартилей, а также минимального и максимального значений признака
Пример: дан ранжированный ряд распределения
0 2 2 2 3 3 4 5 5 10 27
Тогда: Хmin = 0 Xmax = 27 Q1 = 2 Me = 3 Q3 = 5
Бокс-плот (правосторонняя асимметрия):

Тема 6. Индексы
1. Понятие об индексах
2. Индивидуальные индексы
3. Сводные индексы
4. Практика применения индексов в экономике
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Понятие об индексах
Индексы – это относительные величины (динамики, структуры или сравнения), полученные в результате сопоставления сложных показателей во времени и в пространстве.
Сложными являются такие показатели, отдельные элементы которых не подлежат непосредственному суммированию.
Расходы на продукты питания
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Вопрос: как изменились расходы на продукты питания в целом? Для этого вводят общую меру - соизмеритель (цена, себестоимость и т.п.)
При построении индекса отвечают на следующие три вопроса:
1. Какая величина будет индексируемой?
2. Что будет весом при расчете индекса?
3. По какому составу разнородных элементов необходимо исчислить
индекс?

Индивидуальные индексы
Индивидуальные индексы отражают изменение только одного элемента сложного показателя.
Пример: индивидуальный индекс цен
Вывод: цена на хлеб возросла на 50 %, цена на пиво – на 20 %
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Сводные индексы
Сводные индексы определяют изменение всех элементов сложного показателя
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Пример: индекс стоимости
Вывод: расходы в целом возросли на 55,6%.

Индексы цен и физического объема по Ласпейресу и Пааше
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Индекс цен по Ласпейресу:
Индекс физического объема по Ласпейресу

Индексы цен и физического объема по Ласпейресу и Пааше
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Индекс цен по Пааше:
Индекс физического объема по Пааше
Взаимосвязь между индексами цен, физического объема и стоимости:

Средний арифметический индекс
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
В нашем примере:

Средний гармонический индекс
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
В нашем примере:

Некоторые правила исчисления индексов
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
1. Произведение рядом стоящих цепных индексов дает базисный индекс:
2. Частное от деления двух рядом стоящих базисных индексов дает
цепной индекс:
Для сводных индексов эти правила верны только в случае постоянных весов!

Некоторые правила исчисления индексов
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
3. Индекс структурных сдвигов:
где Ix – индекс переменного состава, рассчитываемый путём сопо-
ставления средних величин
Ix - индекс постоянного состава, рассчитываемый по постоянной
структуре явления

Некоторые правила исчисления индексов
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
4. Установление иной базы сравнения
Потребительская корзина неизменна (в случае исчисления индексa стоимости жизни)
5. Построение цепных индексов
Надежность результата изменяется с ростом числа временных периодов и потребительских корзин

Пример применение индексов в экономике
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Расчет паритета покупательной способности ППС
ППС показывает, сколько иностранной валюты должно быть израсходовано для покупки потребительской корзины, которую внутри страны приобретают на отечественную валюту (в расчете на единицу)
С точки зрения страны 2:
Вывод: потребительская корзина по стране 2 стоит в стране 1 на 73% больше, чем в стране 2

Тема 7. Измерение уровня концентрации
1. Постановка проблемы
2. Показатели концентрации
3. Применение методов измерения уровня концентрации в экономике
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Постановка проблемы
Измерение уровня концентрации заключается:
- в определении степени концентрации изучаемого признака по единицам совокупности (абсолютная концентрация)
- в оценке равномерности распределения признака по единицам совокупности (относительная концентрация)
Пример 1, абсолютная концентрация:
на рынке определённого товара 3 наиболее крупных предприятия имеют совокупную долю 90%
Пример 2, относительная концентрация:
1,7 % населения обладают более, чем 70 % всего имущества
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Показатели концентрации
Для измерения относительной концентрации применяются:
- кривая Лоренца
- коэффициент Джини
Для измерения абсолютной концентрации применяются:
- коэффициент концентрации
- индекс Герфиндаля
- индекс Розенблюта
- индекс Линда
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Кривая Лоренца
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Данные о снабжении рынка предприятиями
0 20 40 60 80 100 X

Коэффициент Джини
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
= 0,36
Пример по немецкому варианту формулы:

Коэффициент концентрации
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Пример:
Индекс Герфиндаля
Пример:
Индекс Розенблюта
Пример:

Экспоненциальный индекс
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Пример:
Индекс Линда
Пример:

Применение методов измерения уровня концентрации в экономике
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Доли хозяйствующих субъектов на рынке услуг наружной рекламы
Индекс Герфиндаля в году 1: 3*3 + 12*12 + … + 10*10 = 1831,5.
Индекс Герфиндаля в году 2: 3,6*3,6 + 24,4*24,4 + … + 10*10 = 1988,26.
Вывод: умеренно концентрированный рынок

Тема 8. Корреляционный и регрессионный анализ
1. Понятие корреляции и регрессии
2. Показатели корреляции
3. Регрессия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Понятие корреляции и регрессии
Корреляция – изучение взаимосвязи двух или более величин
Регрессия – нахождение аналитического выражения взаимосвязи двух или более величин, определение тенденции развития явления
При изучении взаимосвязей одни признаки (факторные, Х) обуславливают изменение других признаков (результативных, Y)
Задачи корреляционно-регрессионного анализа:
- предварительный анализ статистической совокупности
- установление связи, её направления и формы
- установление степени тесноты связи
- построение регрессионной модели
- интерпретация и практическое использование результатов
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Виды связей между двумя переменными
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Х
экстремально позитивная связь сильная негативная связь
Х
нет связи нелинейная связь (парабола)
Х
Х

Показатели корреляции
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Основные показатели корреляции:
- коэффициент Фехнера
- коэффициент ассоциации
- коэффициент контингенции
- критерий согласия – χ²
- коэффициент корреляции рангов
- коэффициент корреляции
- коэффициент детерминации
- корреляционное отношение
Для оценки степени интенсивности показателей корреляции используют шкалу Чеддока:

Коэффициент Фехнера
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
где nс – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средне
nн – число несовпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней
Пример:
Вывод: существует слабо выраженная негативная связь между X и Y

Коэффициенты ассоциации и контингенции
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Вывод: существует слабо выраженная позитивная связь между
полом и отношением к спорту
По номинально измеряемым признакам можно рассчитать лишь
коэффициент ассоциации или коэффициент контингенции
Существует ли зависимость между двумя качественными признаками –
Полом и отношением к спорту?
Пример:
Коэффициент ассоциации:
Коэффициент контингенции:

Критерий согласия χ² Пирсона
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
где О – эмпирические (фактические) значения признаков
Е – теоретические (выровненные) значения признаков
Пример: зависит ли частота несчастных случаев от смены?
Предварительная гипотеза: связь отсутствует
Критериальное значение χ² с вероятностью 95% и числом степеней
свободы n = 3-1 = 2: χ² = 5,99 > 4,8
Вывод: различия между О и Е случайны, фактическое распределение не
отличается существенно от теоретически выровненного.
С 95 % вероятностью можно утверждать, что наша гипотеза верна

Коэффициент корреляции рангов по Спирмену
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Вывод: существует сильная положительная зависимость между стажем
и производительностью
где d – разность порядковых номеров (рангов) факторного и результативного признаков;
n – число наблюдений
Пример: стаж и производительность труда по 5 работникам

Коэффициент корреляции по Бравис-Пирсону
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Вывод: существует сильная положительная зависимость между стажем
и производительностью
Пример:

Коэффициент детерминации
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Корреляционное отношение является универсальным показателем корре-
ляции и применяется прямо- и –криволинейной зависимости.
Коэффициент детерминации – η²
Он показывает, какая часть колебаний результативного признака вызвана
факторным признаком.
В нашем примере 81% изменений в производительности труда вызван влиянием стажа работника.
Корреляционное отношение
где δ² – межгрупповая дисперсия;
σобщ² – общая дисперсия совокупности

Ошибки показателей корреляции
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Для проверки значимости показателей корреляции рассчитывают их ошибки.
Средние квадратические ошибки показателей корреляции имеют вид:
Показатель корреляции должен в 2–3 раза превосходить ошибку, чтобы с
вероятностью 0,95 (0,997) говорить о связи между явлениями.
При количестве наблюдений менее 30 (малая выборка) значимость показа-
телей корреляции проверяют по t-критерию Стьюдента или z-преобразова-
нию Фишера

Выбор подходящих показателей корреляции
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика

Регрессия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Этапы регрессионного анализа:
Определение функции (или типа кривой), которая наилучшим образом
характеризует нашу зависимость.
Такими функциями могут выступать:
Выбор кривой осуществляется либо визуально, либо с использованием метода последовательных разностей (для полиномов)

Регрессия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Этапы регрессионного анализа:
2. Определение параметров (коэффициентов) выбранной функции
Предположим линейную зависимость y = ax +b.
Для нахождения параметров a и b используют метод наименьших квадратов:
Пример:

Регрессия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Этапы регрессионного анализа:
3. Определение функции регрессии
Искомая функция:
Тогда теоретические (выровненные) значения производительности

Регрессия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Этапы регрессионного анализа:
4. Прогноз результативного признака
Ограничения прогнозов:
- стабильность неучтённых в модели факторов (внешней среды)
- средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии
При X = 5,5 = 10,5 при X = 6 = 11,4 и т.д.

Регрессия
Dr. Igor Arzhenovskiy
Статистика
Этапы регрессионного анализа:
5. Проверка адекватности модели регрессии
Значимость коэффициентов регрессии проводится с помощью t– критерия
Стьюдента. Если tрасч > tтабл, то коэффициент статистически значим
при уровне значимости α и числе степеней свободы v = n – k – 1,
Для параметров а и b в случае простой парной регрессии имеем:
Оценка надёжности модели регрессии проводится с помощью F–критерия Фишера – Снедекора. Для простой парной регрессии имеем:
Если Fрасч > Fтабл при заданном уровне значимости α, то построенная модель
признаётся надёжной и пригодной для аналитических и прогнозных расчётов