Слайд 2
![Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-1.jpg)
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Производные
2. Таблица производных
3. Дифференциал
4. Производные и
дифференциалы высших порядков
5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
6.Применение производных к исследованию функций
7. Общая схема исследования функции и построение графика
Слайд 3
![Производная. Задача о касательной Определение. Если существует предельное положение секущей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-2.jpg)
Производная. Задача о касательной
Определение. Если существует предельное положение
секущей при стремлении
вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке .
Слайд 4
![Производная. Задача о касательной Обозначим угол наклона касательной к графику](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-3.jpg)
Производная. Задача о касательной
Обозначим угол наклона касательной к графику функции
в точке
Очевидно, при а
стремится к
.
Тогда угловой коэффициент касательной равен .
Слайд 5
![Производная. Определение Пусть функция у = определена в интервале и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-4.jpg)
Производная. Определение
Пусть функция у = определена в интервале и пусть
точка
Рассмотрим далее точку
В обеих точках вычислим значения функции и разность .
Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке .
Слайд 6
![Производная. Определение Если существует конечный (или бесконечный) = , то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-5.jpg)
Производная. Определение
Если существует конечный (или бесконечный)
= ,
то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается
символами или , т.е.
Слайд 7
![Примеры Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-6.jpg)
Примеры
Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания.
Приведем примеры.
Слайд 8
![Уравнение касательной Касательную как прямую, проходящую через точку касания ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-7.jpg)
Уравнение касательной
Касательную как прямую, проходящую через точку касания , задают
уравнением . Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0.
Слайд 9
![Теоремы о производных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-8.jpg)
Слайд 10
![Теоремы о производных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-9.jpg)
Слайд 11
![Теоремы о производных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-10.jpg)
Слайд 12
![Теоремы о производных Например: y' не существует в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-11.jpg)
Теоремы о производных
Например:
y' не существует в точке
Слайд 13
![Примеры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-12.jpg)
Слайд 14
![Примеры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-13.jpg)
Слайд 15
![Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-14.jpg)
Производная обратной функции
Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в
некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю производную . Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную
или .
Слайд 16
![Примеры Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny , которая](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-15.jpg)
Примеры
Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny , которая в
интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому
Слайд 17
![Примеры Итак, Аналогично можно получить](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-16.jpg)
Примеры
Итак,
Аналогично можно получить
Слайд 18
![Теорема о производной сложной функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-17.jpg)
Теорема о производной сложной функции
Слайд 19
![Производная степенной функции Справедливо тождество Тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-18.jpg)
Производная степенной функции
Справедливо тождество
Тогда
Слайд 20
![Производные гиперболических функций Гиперболическими называют функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-19.jpg)
Производные гиперболических функций
Гиперболическими называют функции
Слайд 21
![Производные гиперболических функций Поэтому](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-20.jpg)
Производные гиперболических функций
Поэтому
Слайд 22
![Таблица производных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-21.jpg)
Слайд 23
![Таблица производных 13. 14.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-22.jpg)
Таблица производных
13. 14.
Слайд 24
![Дифференцируемая функция](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-23.jpg)
Слайд 25
![Дифференциал функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-24.jpg)
Слайд 26
![Определение дифференциала Пусть приращение функции в точке может быть представлено](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-25.jpg)
Определение дифференциала
Пусть приращение функции в точке может быть представлено в
виде
, где -приращение аргумента, А-величина, не зависящая от , -бесконечно малая более высокого порядка ,
чем при
Слайд 27
![Определение дифференциала Тогда главная линейная относительно часть приращения функции называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-26.jpg)
Определение дифференциала
Тогда главная линейная относительно
часть приращения функции называется дифференциалом
функции в точке и обозначается .
Итак, по определению .
Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.
Слайд 28
![Дифференциал функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-27.jpg)
Слайд 29
![Дифференциал функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-28.jpg)
Слайд 30
![Дифференциал функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-29.jpg)
Слайд 31
![Инвариантность дифференциала По правилу дифференцирования сложной функции Здесь форма дифференциала](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-30.jpg)
Инвариантность дифференциала
По правилу дифференцирования сложной функции
Здесь форма дифференциала остается
неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.
Слайд 32
![Производные высших порядков](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-31.jpg)
Производные высших порядков
Слайд 33
![Дифференциалы высшего порядка Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-32.jpg)
Дифференциалы высшего порядка
Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом
второго порядка и обозначается . По определению
Итак, и т.д.
Слайд 34
![Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция у от х задана](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-33.jpg)
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция у от х задана параметрическими
уравнениями
И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то
Слайд 35
![Пример Найти производную функции Имеем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-34.jpg)
Пример
Найти производную функции
Имеем
Слайд 36
![Производные неявных функций Пусть значения х и у связаны уравнением](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-35.jpg)
Производные неявных функций
Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0.
Если функция у=f(х), определенная на некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.
Слайд 37
![Пример Продифференцируем функцию . Имеем . Отсюда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-36.jpg)
Пример
Продифференцируем функцию
.
Имеем . Отсюда
Слайд 38
![Продолжение Найдем вторую производную. Так как то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/253189/slide-37.jpg)
Продолжение
Найдем вторую производную.
Так как то