Слайд 2
![Евклидово пространство Rn Пусть имеем n действительных чисел х1,х2, х3,...хn,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-1.jpg)
Евклидово пространство Rn
Пусть имеем n действительных чисел х1,х2, х3,...хn, где
Упорядоченный
набор (х1,х2, х3,...хn) определяет точку n-мерного пространства Rn:
Множество точек
называется областью (подмножеством) пространства Rn
Расстоянием между точками х и у называют величину
что соответствует обычной евклидовой норме.
Слайд 3
![Определение ФНП Если каждой точке М(х1,х2, х3,...хn) из множества по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-2.jpg)
Определение ФНП
Если каждой точке М(х1,х2, х3,...хn) из множества по некоторому правилу
ставится в соответствие вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что на множестве D задана функция нескольких переменных z = f (х1,х2, х3,...хn)
Обозначения:
х1,х2, х3,...хn – независимые переменные, аргументы
z – зависимая переменная, функция
f – закон соответствия, правило
D – область определения функции,
Z – область значений функции,
Слайд 4
![Примеры ФНП Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: где х1, х2, х3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-3.jpg)
Примеры ФНП
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
где х1, х2, х3 - измерения параллелепипеда
Производственная функция Кобба-Дугласа:
Зависимая переменная Q – объем выпуска продукции,
Аргументы: К – затраты капитала, L- затраты трудовых ресурсов;
Параметры: А – параметр производительности, α – доля капитала в доходе
Слайд 5
![Договоренности Обычно рассматривают функции двух переменных или трех переменных Далее](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-4.jpg)
Договоренности
Обычно рассматривают функции
двух переменных или
трех переменных
Далее рассмотрим функцию двух переменных
(n=2):
Все утверждения справедливы при n>2
Слайд 6
![Способы задания ФНП При аналитическом способе задания используют чаще всего:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-5.jpg)
Способы задания ФНП
При аналитическом способе задания используют чаще всего:
явное задание функции,
т.е. уравнением вида
неявный способ посредством уравнения, связывающего три переменные величины:
В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.
Слайд 7
![Графическое представление ФНП Графиком ФНП называют множество точек пространства Rn+1,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-6.jpg)
Графическое представление ФНП
Графиком ФНП называют множество точек пространства Rn+1, координаты которых
удовлетворяют уравнению функции.
График функции двух переменных – поверхность в трехмерном пространстве (x,y,z)
Слайд 8
![Примеры Графиком функции является верхняя половина сферы , а графиком](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-7.jpg)
Примеры
Графиком функции является верхняя половина сферы ,
а графиком функции - нижняя
половина этой же сферы.
Графиком линейной функции
z = ax + by + с является
плоскость в пространстве Oxyz,
а графиком функции z = сonst
- плоскость, параллельная
координатной плоскости Oxyz.
Слайд 9
![Примеры Построить график функции Построим график в системе Maple](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-8.jpg)
Примеры
Построить график функции
Построим график в системе Maple
Слайд 10
![Графическое представление ФНП Линией (поверхностью) уровня функции нескольких переменных называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-9.jpg)
Графическое представление ФНП
Линией (поверхностью) уровня функции нескольких переменных называется множество таких
точек на плоскости, что значение функции в них одно и то же и равно С.
Число С называют уровнем.
Слайд 11
![График и линии уровня ФНП](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-10.jpg)
График и линии уровня ФНП
Слайд 12
![Предел и непрерывность функций нескольких переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-11.jpg)
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Слайд 13
![Окрестности точки в Rn Круговой δ-окрестностью Uδ точки М0 (x0,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-12.jpg)
Окрестности точки в Rn
Круговой δ-окрестностью Uδ точки М0 (x0, y0) называется
круг радиуса δ с центром в точке M0, т.е. множество точек M (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству
Прямоугольной δ-окрестностью Vδ точки М0 (x0, y0) называется прямоугольник
с центром в точке M0 со сторонами 2δ.
Слайд 14
![Предел ФНП в точке Число A называется пределом функции f](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-13.jpg)
Предел ФНП в точке
Число A называется пределом функции f (x, y)
при и , если для любого числа ε>0 можно найти такое число δ>0, что неравенство выполняется для всех точек М(х,у) из δ-окрестности точки М0 (x0, y0).
Обозначения:
Символически:
Геометрический смысл определения: в точках достаточно малой окрестности точки М0 значения функции f(х, у) как угодно мало отличаются от числа А.
Слайд 15
![Предел ФНП Понятия предела функций одной и нескольких переменных во](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-14.jpg)
Предел ФНП
Понятия предела функций одной и нескольких переменных во многом аналогичны:
Рассматривают предел в бесконечно удаленной точке,
Используют понятия бесконечно большой и бесконечно малой функций;
Имеют место те же теоремы о свойствах пределов;
Используют те же приемы вычисления пределов.
НО основное различие между ними касается условия существования предела: для ФНП стремление к предельной точке может происходить по бесконечному числу направлений, потому для существования предела у ФНП должны совпадать пределы по всем возможным направлениям.
Слайд 16
![Пример Найти предел Решение Обозначим . Условие х→0, у→0 равносильно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-15.jpg)
Пример
Найти предел
Решение
Обозначим . Условие х→0, у→0 равносильно ρ→0.
Перейдем в пределе к переменной
ρ:
Слайд 17
![Пример Найти Решение По любой прямой предел один и тот](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-16.jpg)
Пример
Найти
Решение
По любой прямой предел один и тот же:
С другой
стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой
Тогда
Следовательно, предел не существует.
Слайд 18
![Непрерывность ФНП Пусть функция определена в окрестности Uδ точки М0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-17.jpg)
Непрерывность ФНП
Пусть функция определена в окрестности Uδ точки М0 (x0, y0).
Функция
называется непрерывной в точке М0 (x0, y0), если
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции:
Функцию, непрерывную в каждой точке области D, называют непрерывной в этой области.
Слайд 19
![Пример Исследовать на непрерывность функцию Решение Функция определена при всех](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-18.jpg)
Пример
Исследовать на непрерывность функцию
Решение
Функция определена при всех значениях переменных x
и y, кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.
Многочлен x2+y2 непрерывен всюду → непрерывен корень квадратный из непрерывной функции → дробь непрерывна всюду, кроме точек, где её знаменатель равен нулю.
Итак, рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху, исключая начало координат.
Слайд 20
![Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-19.jpg)
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Слайд 21
![Частные производные ФНП первого порядка Пусть функция двух переменных определена](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-20.jpg)
Частные производные ФНП
первого порядка
Пусть функция двух переменных определена в области D,
а М0 (x0, y0) – внутренняя точка области D.
Дадим аргументу x приращение Δx = x - x0, тогда функция z получит частное приращение по x:
Если существует конечный предел
то этот предел называется частной производной функции по х в точке М0 и обозначается одним из символов:
Слайд 22
![Частные производные ФНП первого порядка Аналогично определяется частная производная по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-21.jpg)
Частные производные ФНП
первого порядка
Аналогично определяется частная производная по у. Используются
обозначения:
Производные называются частными производными первого порядка или первыми частными производными.
Частная производная по какой-либо переменной есть обычная производная, при условии, что все остальные переменные – константы.
Правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы при нахождении частных производных ФНП.
Слайд 23
![Пример Найти частные производные функции Решение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-22.jpg)
Пример
Найти частные производные функции
Решение
Слайд 24
![Геометрический смысл частных производных ФНП Пусть поверхность Р – график](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-23.jpg)
Геометрический смысл частных производных ФНП
Пусть поверхность Р – график функции
При
у=у0 получим:
кривая Гх – сечение Р;
α – угол наклона касательной к кривой Гх в точке (х0,у0) к оси Ох;
Аналогично при х=х0
Слайд 25
![Пример Какой угол образует с осью Ох касательная к линии](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-24.jpg)
Пример
Какой угол образует с осью Ох касательная к линии
в точке
М (2,4,5)?
Решение
Так как значение у фиксировано (у=4), используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у):
значение в точке М
Следовательно и α=450
Слайд 26
![Полный дифференциал Пусть функция определена в области D, а М0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-25.jpg)
Полный дифференциал
Пусть функция определена в области D, а М0 (x0, y0)
– внутренняя точка области D.
Дадим ее аргументам x и у соответствующие приращения Δx и Δу, тогда функция z получит полное приращение:
Существенную часть полного приращения функции составляет ее дифференциал
Дифференциалом (полным дифференциалом) ФНП называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных:
Слайд 27
![Дифференцируемость ФНП Функция называется дифференцируемой в точке (х0, у0), если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-26.jpg)
Дифференцируемость ФНП
Функция называется дифференцируемой в точке (х0, у0), если ее полное
приращение может быть представлено в виде
где α и β- бесконечно малые относительно Δx и Δу.
Для дифференцируемости ФНП существование у нее частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием.
Достаточное условие дифференцируемости ФНП: если частные производные существуют в окрестности точки (х0, у0) и непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в этой точке
Слайд 28
![Производная по направлению Пусть функция определена в окрестности точки М0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-27.jpg)
Производная по направлению
Пусть функция определена в окрестности точки М0 (x0, y0);
l - некоторое направление
При перемещении точки М0 (x0, y0) в данном направлении l в точку М (x, y) функция z получит приращение
- приращение функции z в данном направлении l.
Производной функции z по направлению l называется предел
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении
Слайд 29
![Градиент Градиентом функции называется вектор, координаты которого равны соответственно частным](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-28.jpg)
Градиент
Градиентом функции называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным:
Связь градиента функции
с производной по направлению l определяется равенством
где – единичный вектор, задающий направление l.
Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания функции в точке.
Зная градиент функции в каждой точке, можно локально строить линии уровня, т.к. градиент перпендикулярен линии уровня.
Слайд 30
![Частные производные ФНП высших порядков Частные производные первого порядка сами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-29.jpg)
Частные производные ФНП
высших порядков
Частные производные первого порядка сами являются функциями
нескольких переменных, их также можно дифференцировать.
Для функции возможны четыре вида частных производных второго порядка:
и восемь – третьего порядка:
В случае большего числа аргументов все вторые частные производные функции u = u(x1,…,xn) можно записать с помощью матрицы Гессе:
Слайд 31
![Частные производные ФНП высших порядков Частные производные, в которых дифференцирование](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-30.jpg)
Частные производные ФНП
высших порядков
Частные производные, в которых дифференцирование производится
по одинаковым переменным называются повторными; по разным переменным - смешанными.
Если функция нескольких переменных необходимое количество раз дифференцируема в точке (имеет непрерывные частные производные), то ее смешанные производные в этой точке равны.
В силу равенства смешанных производных матрица Гессе симметрична
Слайд 32
![Экстремумы функции нескольких переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-31.jpg)
Экстремумы функции нескольких переменных
Слайд 33
![Локальный экстремум ФНП Точка М0 (x0, y0) называется точкой максимума](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-32.jpg)
Локальный экстремум ФНП
Точка М0 (x0, y0) называется точкой максимума (локального максимума)
функции , если существует окрестность UM0 точки М0, в каждой точке М которой выполняется неравенство f(M0)≥f(M)
Точка М0 (x0, y0) называется точкой минимума (локального минимума) функции , если существует окрестность UM0 точки М0, в каждой точке М которой выполняется неравенство f(M0) ≤f(M)
Слайд 34
![Локальный экстремум ФНП В критических точках функция может иметь экстремум,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-33.jpg)
Локальный экстремум ФНП
В критических точках функция может иметь экстремум, а может
не иметь, т.е. необходимое условие экстремума не является достаточным
Слайд 35
![Локальный экстремум ФНП Достаточное условие экстремума ФНП: Пусть функция имеет](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-34.jpg)
Локальный экстремум ФНП
Достаточное условие экстремума ФНП:
Пусть функция имеет непрерывные частные производные
второго порядка в некоторой окрестности критической точки М0:
Тогда
если то экстремум есть,
причем при А > 0 в точке М0 – минимум функции;
при А < 0 - максимум.
если то экстремума в точке М0 нет;
если то требуется дополнительное исследование
Слайд 36
![Локальный экстремум ФНП Схема исследования ФНП на экстремум Найти частные](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-35.jpg)
Локальный экстремум ФНП
Схема исследования ФНП на экстремум
Найти частные производные первого порядка
Найти
критические точки, решая систему уравнений
Найти частные производные второго порядка
Вычислить значения вторых производных в критических точках, проверить достаточные условия экстремума
Найти экстремальные значения функции.
Слайд 37
![Локальный экстремум. Примеры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-36.jpg)
Локальный экстремум. Примеры
Слайд 38
![Локальный экстремум. Примеры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-37.jpg)
Локальный экстремум. Примеры
Слайд 39
![Локальный экстремум. Примеры Исследовать на экстремум функцию Решение Найдем Критические](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-38.jpg)
Локальный экстремум. Примеры
Исследовать на экстремум функцию
Решение
Найдем
Критические точки: →
Найдем
Проверка достаточных условий:
проведем
дополнительное исследование – рассмотрим ∆z(0;0)=z(h,k)-z(0,0)
при
при
приращение ∆z(0;0) принимает значения разных знаков, поэтому в точке (0;0) экстремума нет.
Слайд 40
![Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-39.jpg)
Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области
Слайд 41
![Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-40.jpg)
Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области
Слайд 42
![Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-41.jpg)
Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой области
Слайд 43
![Условный экстремум ФНП Условным экстремумом функции z=f(х,у) называется экстремум этой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-42.jpg)
Условный экстремум ФНП
Условным экстремумом функции z=f(х,у) называется экстремум этой функции, достигнутый
при условии, что аргументы х и у связаны уравнением g(x,y)=C.
Уравнение g(x,y)=C называется уравнением связи.
Геометрический смысл:
выбор наибольшего (наименьшего)
значения среди точек, лежащих на
линии, определяемой уравнением
связи.
Слайд 44
![Условный экстремум ФНП 1 способ – выражение одной неизвестной из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-43.jpg)
Условный экстремум ФНП
1 способ – выражение одной неизвестной из уравнения связи
Пример.
Найти экстремумы функции при условии
Выразим из уравнения связи переменную у:
Подставив это выражение в функцию z, получим
Исследуем ее как функцию одной переменной:
при - точка минимума, откуда
Точка (3,1) - точка условного экстремума (минимума):
Слайд 45
![Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 2 способ (универсальный) – метод](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/205400/slide-44.jpg)
Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа
2 способ (универсальный) – метод неопределенных множителей
Лагранжа - используется, когда из уравнения связи выражение ни одной из переменных невозможно или число переменных больше двух.
Алгоритм метода:
Составить функцию Лагранжа:
Исследовать функцию Лагранжа на экстремум как функцию трех переменных.