Производная. Определение производной презентация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Задачи, приводящие к понятию производной

=x0+∆x
Приращение функции и приращение аргумента
y=f(x)
x0
f(x)=f(x0+∆x)
f(x0)
∆x
∆f
приращение аргумента:
x
y
∆х = х - х0 (1)
Приращение функции :
∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2)
∆f = f(x)-f(x0) (3)
x
В окрестности точки х0 возьмём точку х
Пусть х0- фиксированная точка, f(х0)- значение функци в точке х0
Расстояние между точками х и х0 обозначим ∆х.Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х0:
Первоначальное значение аргумента получило приращение ∆х, и новое значение х равно х0+∆х
Функция f(х) тоже примет новое значение: f(x0+∆x)
Т.е., значение функции изменилось на величину f(x)-f(x0)= f(x0 +∆x)-f(x0),КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆f
Дана функция f(x)

Прямая, проходящая через точку М0 (х0; f(х0)), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х0
x0
f(x0)
M0
X
y
Задача, приводимая к понятию “производная”
0

Задача: Определить положение касательной (tgφ)
х
у
0
М0
х0
f(x0)
М
х
f(x)
=x0+∆x
∆x
∆f
=f(x0+∆x)
α
φ
Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0,
приближается к положению касательной
Предельным положением секущей МоМ,
когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная
Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М0 ,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ
Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М0
Через точки М и М0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол α
Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М0.Соответственно будет меняться положение секущей ММ0
При этом координата х точки М будет стремиться к х0
К чему будет стремиться приращение аргумента?
А к какому углу будет стремиться угол α ?

Определение производной
Производной функции f в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при последнем стремящимся к нулю:

Задача о касательной к графику функции
x
y
С
∆х=х-х0
∆f(x) = f(x) - f(x0)

Физический смысл производной x`(t) от непрерывной функции x(t) в точке t (0) – есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Δt стремится к нулю.
Физический смысл производной функции

- Представьте, что вы летите в самолёте и у вас на руке часы. Когда Вы летите, Вы имеете скорость равную скорости самолёта.
- А какая скорость у Вас и у самолёта в каждый момент времени на Ваших часах?
– Скорость, как физическое понятие, это путь самолёта, пройденный за единицу времени (например, за час (км/час)), а у Вас, когда Вы взглянули на часы прошло только мгновение. Таким образом, мгновенная скорость (величина пути, пройденного за мгновение) и есть производная величина от функции, описывающей путь самолёта по времени. Мгновенная скорость - это и есть физический смысл производной.
Еще одно объяснение физического смысла производной функции

Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
х
f(x )
x+Δx
М
М1
f(x+ Δx )
Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

Геометрический смысл производной
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.
Уравнение касательной
Уравнение нормали

Уравнение касательной
f(x)= f (x0)+ f ´(x0)(x- x0)
Kоэффициент угла наклона касательной
k = f ´(x0) = tgα
Касательная к графику функции

(f(х) ± g( х))΄=
(Сf(х))΄=
(f(х)·g( х))΄=
(f(х)/g(х))΄=
Правило вычисления производных.
f(х)΄± g( х)΄
С( f(х))΄
f(х)΄g( х)+ f(х)g( х)΄
(f(х)΄g( х)–f(х)g( х)΄)/g( х) 2

g (f(x ))΄ =
Производная сложной функции.
g΄(f(x))·f ΄(x)

Основные формулы
k
0
1
1/х

Производные тригонометрических функций.
(sin x) ΄ =
(cos x) ΄ =
(tg x) ΄ =
(ctg x) ΄ =

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.
Теорема
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел:
Доказательство:
где
при
По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции
Функция y = f(x) – непрерывна.
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Производные основных элементарных функций
1
Формула бинома Ньютона:
Степенная функция:
K – факториал

Производные основных элементарных функций
По формуле бинома Ньютона имеем:
Тогда:

Производные основных элементарных функций
2
Логарифмическая функция:
Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.