Готовимся к ОГЭ.Модуль геометрия презентация

Справочный материал

Справочный материал

Справочный материал

Справочный материал

Задача №9
Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол равный 15°. Ответ дайте в градусах.
А
В
С
D
15°
15°
15°
Е
∠ВЕА=∠ЕАD накрест лежащие углы
∠ЕАD=∠ВАЕ т.к. АЕ- биссектриса ⇒
∠А = 15 + 15= 30°
Ответ: острый угол параллелограмма равен 30°

Задача №9
В выпуклом четырехугольнике ABCD AB=BC, AD=CD, ∠B=133° ∠D=173°. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.
А
С
В
D
133°
173°
Проведем диагональ АС
АВС и ΔADC равнобедренные
∠С ΔADC равен ∠А ΔADC , ∠С ΔAВC равен ∠А ΔAВC ⇒ ∠С =∠А четырехугольника АВСD, т.к. сумма всех углов четырехугольника равна 360° ∠С +∠А= 360- (133+173)=54° ⇒ ∠С =∠А = 54:2=27°
Ответ: ∠А= 27°

Задача №9
Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 500
Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах
D
А
В
С
∠А+∠D = 50°
∠А=∠D = 50:2=25°
∠В+∠А=180° односторонние углы ⇒ ∠В= 180 – 25 =155°
Ответ: больший угол трапеции равен 155°

Задача №9
Найдите больший угол равнобедренной трапеции АВСD, если диагональ АС образует с основанием АD и боковой стороной АВ углы, равные 460 и 10 соответственно. Ответ дайте в градусах.
D
А
В
С
460
10
∠А= 46+1 =47°
∠В+∠А=180° односторонние углы ⇒ ∠В= 180 – 47 =133°
Ответ: больший угол трапеции равен 133°

Задача №9
В параллелограмме АВСD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB ∠ACD=104°. Найдите острый угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
О
А
В
С
104°
Построим вторую диагональ
D
Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам
т.к АС = 2АВ, ОС=СD ΔOCD равнобедренный
∠О=∠D , ∠О+∠D=180-104=76°, ∠О=∠D=76:2=38°
Ответ: острый угол между диагоналями равен 38°.

Задача №9
В треугольнике АВС АВ=ВС. Внешний угол при вершине В равен 146°. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
С
А
В
146°
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов этого треугольника не смежных с ним
∠А+∠С =146°, но ∠А=∠С ⇒ ∠А=∠С =146:2=73°
Ответ: ∠ С = 73°

Задача №9
Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С .Известно, что угол АВС равен 150 и угол ОАВ равен 80 Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.
.
О
.
.
.
С1
А
С
в
80
150
?
А1
∠АВС – вписанный угол, равен половине дуги на которую опирается ⇒ ∪АС=30°.
∠АОС=30° -центральный угол,
∠АОС=∠С1ОА1 = 30°- вертикальные, т.е ∪ С1А1 =30°, ∠ВАА1 – вписанный⇒ ∪ ВА1 =16°
16°
∪С1В=30-16=14°;
∠С1 СВ- вписанный угол, опирающийся на ∪С1В
∠С1 СВ=14:2=7°
Ответ: ∠ВСО=7°

Задача №10
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
4
10
D
А
В
С
Р
К
М
КМ - средняя линия ⇒КВ=КА
КМ || ВС ⇒ ВР=РD (по т.Фалеса)
КР – средняя линия ΔABD
КР=AD:2 = 10:2=5
Ответ: больший из отрезков, на которые делит среднюю линию трапеции одна из её диагоналей равен 5.

Задача №10
В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании. Найдите меньшее основание.
5
14
45°
D
А
В
С
Н
Рассмотрим ΔАВН он прямоугольный и равнобедренный, т.е. АН=ВН=5
Построим высоту из вершины С
М
ΔСМD = ΔАВН ⇒ MD = AH = 5 AD = AH + HM + MD,
HM = BC
BC = 14 – (5+5) = 4
Ответ: меньшее основание равно 4.

Задача №10
На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠АОВ=66°. Длина меньшей дуги АВ равна 99. Найдите длину большей дуги.
.
А
О
В
.
.
66°
99
Длина ∪ АВ= 99, но т.к. ∠АОВ – центральный угол, опирающийся на ∪ АВ, ∪ АВ= 66°.
Тогда 1°= 99:66 =1,5
Большая ∪ АВ= 360 – 66 = 294°
∪ АВ= 294 · 1,5 = 441
Ответ: Большая ∪ АВ равна 441.

Задача №10
Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.
.
О
72
27
А
С
Рассмотрим ΔАОС он прямоугольный ОС=27, АС=36 применим т.Пифагора и найдем
ОА= 45 (радиус окружности)
D = 45 · 2 = 90
Ответ: диаметр окружности равен 90

Задача №10
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 8 и 15. Найдите длину основания ВС.
D
А
В
С
Н
8
15
М
ΔАМВ=ΔНСD ⇒ HD = AM = 8
BC = MH = AH – AM = 15 – 8 = 7
Ответ: длина основания ВС = 7

Задача №10
Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 4
D
А
В
С
4
4
4
Н
tg∠D=
DH = 4 : = 16, АD = 16 + 4 = 20
Ответ: большее основание равно 20

Задача №10
На стороне ВС прямоугольника АВCD, у которого АВ=12 и АD=17, отмечена точка Е так, что угол ЕАВ равен 450 . Найдите ЕD.
D
А
В
С
Е
450
12
17
Рассмотрим ΔАВЕ он прямоугольный и равнобедренный АВ = ВЕ = 12
ЕС = ВС – ВЕ = 17 – 12 = 5
5
12
DE найдем по т. Пифагора
DE = 13
Ответ: DE = 13

Задача №10
Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба
D
А
В
С
Найдем стороны ромба.
Р = 4a а = 36:4 = 9
Проведем высоту
S = ah h= 27: 9= 3
h
Ответ: высота ромба равна 3.

Задача №11
1. Сторона ромба равна 50, а диагональ равна 80. Найдите площадь ромба.
50
80
40
В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам и пересекаются они под углом 90°
Найдем половину второй диагонали по т.Пифагора
Половина второй диагонали равна 30, все диагональ 60.
S = 60 · 80 : 2 = 2400
Ответ: площадь ромба 2400

Задача №11
2. Площадь параллелограмма AВCD равна 6. Точка Е-середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции ВCDЕ.
D
А
В
С
.
Е
Опустим из вершины В высоту на сторону CD, эта высота общая и для параллелограмма и для трапеции
= 4,5
Ответ: площадь трапеции равна 4,5

Задача №11
3. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона – 78. Найдите площадь треугольника
78
78
Найдем третью сторону
216 – 78 · 2 = 60
Проведем высоту к этой стороне, это и биссектриса и медиана
30
Найдем высоту h= 72
Sм = 72 · 30 : 2 = 1080 SΔ= 2· Sм= 2160
Ответ: площадь треугольника равна 2160

Задачи для самостоятельного решения
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее боковые стороны равны 5. Найдите площадь трапеции.
. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Периметр квадрата равен 60. Найдите площадь квадрата
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6
Высота равнобедренной (равнобокой) трапеции, проведенная из вершины С, делит основание AD на отрезки, длиной 1 и 5. Найдите длину основания ВС.

Задачи для самостоятельного решения
Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 20.
. В трапеции АВСD АВ=CD, угол ВDА равен 100 и угол ВDС равен 1090 Найдите угол АВD . Ответ дайте в градусах.
Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.