Запись числа в десятичной системе счисления презентация

Система счисления – язык для наименования и записи чисел и выполнения действий над ними.

Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что каждый знак всегда обозначает одно и тоже число.
Например, в римской системе счисления:
I – один
III – один да один, да один равно три
IV, VIII, IX, XII, CXXI, MMXI

В России до XVII в. Использовалась славянская непозиционная нумерация.
Числа в такой нумерации обозначались буквами славянского алфавита, над которыми ставили особый знак – титло.

В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII в. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах.

В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места(позиции)
Например: 1111, 343434, 2342342

Запись чисел в десятичной системе счисления

Правила нумерации
Правило прочтения чисел:
1. Раздели число на классы справа на- лево. Каждый класс должен содержать три разряда. Только старший класс может быть неполным.
2. Сначала называем разряды старшего класса и название класса. Затем называем разряды и название следующего класса и т. д.

Правило записи числа
1. Записываем цифры старшего класса.
2. Затем, цифры младших классов, помня о том, что каждый следующий класс должен быть полным.

Например:
Три миллиона двести сорок пять тысяч шестнадцать.
3 _ _ _ _ _ _
3 245 016

Основа записи чисел в десятичной системе

Определение.
Десятичной записью натурального числа х называется представление в виде:
где коэффициенты аi принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и аn ≠0

Теорема 1
Любое натуральное число х можно представить в виде суммы разрядных слагаемых.

Доказательство существования записи числа.
Пусть
тогда
Разделим число x :
Имеем
где

Продолжим деление.
где
В результате имеем
Процесс деления конечен, так как
Последний неравный нулю остаток обозначим a0. ч.т.д.

Доказательство единственности.
Старшая степень числа x определяется однозначно.
Деление с остатком также однозначно.
Следовательно, представление числа в виде суммы разрядных слагаемых также однозначно.

Сравнение натуральных чисел
Теорема2: Пусть x и y – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

1.
2.
3.

Например:
1. 34 < 341
2. 628 < 828
3.65734 < 65794

Доказательство
1) Если
Следовательно x
;то

2) Если n=m, но
тогда
Следовательно x
то
Значит,

Например:
1) x=54267; y=5426
x= 345; y= 2314
2) a=6789; b=5789
a=1245; b=3245
3) m=3456; n=3421
m=1454; n=1458

Алгоритм сложения
x=345; y=598. Найдем сумму чисел х+y:
345+ 598= (300+40+5)+(500+90+8)=
(300+500)+(40+90)+(5+8)=
800+130+13=
800+(100+30)+(10+3)=
(800+100)+(30+10)+3 =900+40+3=943

В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:
Способ записи чисел в десятичной системе счисления;
Коммутативный и ассоциативный законы сложения натуральных чисел;
Дистрибутивный закон умножения относительно сложения;
Таблица сложения однозначных чисел.

Рассмотрим алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде (для чисел x и y)
Пусть числа x и y в общем виде:

Сумму чисел x и y можно представить:

Но

Применив дистрибутивный закон, имеем:
Применив дистрибутивный закон для 1 и 2 , а так же для 3 и 4 слагаемых, имеем:

Так как
и
то
Тем самым получена десятичная запись числа

Алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления
Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше 10, записывают ее в разряде единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков)

Если сумма единиц больше или равна 10, то представляют ее в виде
где
однозначное число

Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д.
Процесс этот конечен.

Схема алгоритма сложения
ответ
переход
конец
x+y
да
нет
-ответ
10 переносим в старший разряд
Сумма ст. разрядов