Слайд 2
![КОМБИНАТОРИКА](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-1.jpg)
Слайд 3
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-2.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из
элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества
Слайд 4
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-3.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных
элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Слайд 5
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-4.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных
элементов и отличающиеся только порядком их расположения.
Число всех возможных перестановок:
Pn = n!
где n! = 1*2*3 … n
При этом: 0! = 1
Слайд 6
![ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО РАССТАВИТЬ N ОБЪЕКТОВ?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-5.jpg)
ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА
СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО РАССТАВИТЬ N ОБЪЕКТОВ?
Слайд 7
![ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-6.jpg)
ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
Слайд 8
![ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг? РЕШЕНИЕ.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-7.jpg)
ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Слайд 9
![ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-8.jpg)
ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
Слайд 10
![ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-9.jpg)
ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
P10 =
Слайд 11
![ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-10.jpg)
ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
P10 = 10! =
Слайд 12
![ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-11.jpg)
ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
P10 = 10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 =
Слайд 13
![ПРИМЕР 1 Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-12.jpg)
ПРИМЕР 1
Сколько существует вариантов расстановки на полке 10 различных книг?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в
расстановке на полке участвуют ВСЕ книги, то общее число комбинаций можно определить как число перестановок
P10 = 10! = 1•2•3•4•5•6•7•8•9•10 = 3 628 800
Слайд 14
![ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-13.jpg)
ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
Слайд 15
![ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-14.jpg)
ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Слайд 16
![ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-15.jpg)
ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной.
Слайд 17
![ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-16.jpg)
ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4.
Слайд 18
![ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-17.jpg)
ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся 5-ти местах в любом порядке.
Слайд 19
![ПРИМЕР 2 Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-18.jpg)
ПРИМЕР 2
Сколько всего четных шестизначных чисел можно составить из цифр 1;
3; 4; 5; 7 и 9, если в каждом из этих чисел ни одна не повторяется?
РЕШЕНИЕ.
Чтобы число было четным, последняя его цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр только одна четная – 4. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся 5-ти местах в любом порядке.
Следовательно, задача сводится к нахождению числа перестановок из пяти элементов.
Слайд 20
![ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. P5 =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-19.jpg)
Слайд 21
![ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. P5 = 5! =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-20.jpg)
ПРИМЕР 2
РЕШЕНИЕ.
P5 = 5! =
Слайд 22
![ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. P5 = 5! = 1•2•3•4•5 =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-21.jpg)
ПРИМЕР 2
РЕШЕНИЕ.
P5 = 5! = 1•2•3•4•5 =
Слайд 23
![ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. P5 = 5! = 1•2•3•4•5 = 120](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-22.jpg)
ПРИМЕР 2
РЕШЕНИЕ.
P5 = 5! = 1•2•3•4•5 = 120
Слайд 24
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-23.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются либо составом элементов либо их порядком.
Слайд 25
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-24.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются либо составом элементов либо их порядком.
Число всех возможных размещений:
Anm = n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)
Слайд 26
![ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ M ОБЪЕКТОВ ИЗ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-25.jpg)
ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА
СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ M ОБЪЕКТОВ ИЗ N И
В КАЖДОЙ ВЫБОРКЕ ПЕРЕСТАВИТЬ ИХ МЕСТАМИ (ЛИБО РАСПРЕДЕЛИТЬ МЕЖДУ НИМИ КАКИЕ-НИБУДЬ УНИКАЛЬНЫЕ АТРИБУТЫ)?
Слайд 27
![ПРИМЕР 3 На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-26.jpg)
ПРИМЕР 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих
букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Сколько слов, состоящих из четырех букв, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно составить из них?
Слайд 28
![ПРИМЕР 3 На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-27.jpg)
ПРИМЕР 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих
букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Сколько слов, состоящих из четырех букв, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно составить из них?
РЕШЕНИЕ.
Слайд 29
![ПРИМЕР 3 На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-28.jpg)
ПРИМЕР 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих
букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Сколько слов, состоящих из четырех букв, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно составить из них?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в комбинациях могут участвовать не все буквы и порядок их следования важен (получаются разные слова),
Слайд 30
![ПРИМЕР 3 На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-29.jpg)
ПРИМЕР 3
На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих
букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Сколько слов, состоящих из четырех букв, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно составить из них?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. в комбинациях могут участвовать не все буквы и порядок их следования важен (получаются разные слова), то задача решается с помощью нахождения числа размещений, т.е.
Слайд 31
![ПРИМЕР 2 РЕШЕНИЕ. A64 =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-30.jpg)
Слайд 32
![ПРИМЕР 3 РЕШЕНИЕ. A64 = 6•5•4•3 =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-31.jpg)
ПРИМЕР 3
РЕШЕНИЕ.
A64 = 6•5•4•3 =
Слайд 33
![ПРИМЕР 3 РЕШЕНИЕ. A64 = 6•5•4•3 = 360](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-32.jpg)
ПРИМЕР 3
РЕШЕНИЕ.
A64 = 6•5•4•3 = 360
Слайд 34
![ПРИМЕР 4 Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-33.jpg)
ПРИМЕР 4
Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков, если каждый
букет состоит из 3 цветков?
Слайд 35
![ПРИМЕР 4 Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-34.jpg)
ПРИМЕР 4
Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков, если каждый
букет состоит из 3 цветков?
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 =
Слайд 36
![ПРИМЕР 4 Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-35.jpg)
ПРИМЕР 4
Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков, если каждый
букет состоит из 3 цветков?
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 = 9•8•7 =
Слайд 37
![ПРИМЕР 4 Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-36.jpg)
ПРИМЕР 4
Сколько можно составить букетов из 9 разных цветков, если каждый
букет состоит из 3 цветков?
РЕШЕНИЕ.
Искомое число букетов A93 = 9•8•7 = 504
Слайд 38
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-37.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются хотя бы одним элементом.
Слайд 39
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-38.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются хотя бы одним элементом.
Число сочетаний:
Слайд 40
![ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ M ОБЪЕКТОВ ИЗ N ОБЪЕКТОВ?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-39.jpg)
ТИПИЧНАЯ СМЫСЛОВАЯ НАГРУЗКА
СКОЛЬКИМИ СПОСОБАМИ МОЖНО ВЫБРАТЬ M ОБЪЕКТОВ ИЗ N ОБЪЕКТОВ?
Слайд 41
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-40.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
Слайд 42
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-41.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Слайд 43
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-42.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 44
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-43.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 45
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-44.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 46
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-45.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 47
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-46.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 48
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-47.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 49
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-48.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 50
![ПРИМЕР 5 Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-49.jpg)
ПРИМЕР 5
Сколькими способами читатель может выбрать в библиотеке 3 книги из
имеющихся 10 книг по математике?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок выбора книг не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 51
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-50.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
Слайд 52
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-51.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Слайд 53
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-52.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 54
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-53.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 55
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-54.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 56
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-55.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 57
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-56.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 58
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-57.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 59
![ПРИМЕР 6 В группе из 8 человек надо выбрать 2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-58.jpg)
ПРИМЕР 6
В группе из 8 человек надо выбрать 2 для дежурства.
Сколько существует вариантов сделать этот выбор?
РЕШЕНИЕ.
Т.к. порядок назначения дежурных не важен, то искомое число способов определяется как число СОЧЕТАНИЙ:
Слайд 60
![ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КОМБИНАТОРИКЕ Правило суммы. Если некоторый объект](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-59.jpg)
ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО КОМБИНАТОРИКЕ
Правило суммы. Если некоторый объект A может
быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то выбрать либо A, либо B можно (m+n) способами.
Слайд 61
![ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать хотя бы один фрукт?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-60.jpg)
ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
Слайд 62
![ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-61.jpg)
ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
РЕШЕНИЕ.
Слайд 63
![ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-62.jpg)
ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны:
Слайд 64
![ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-63.jpg)
ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны: 1 фрукт, 2 фрукта, 3 фрукты из находящихся в вазе.
Слайд 65
![ПРИМЕР 7 В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-64.jpg)
ПРИМЕР 7
В вазе лежат: яблок, груша, банан. Сколько существует способов выбрать
хотя бы один фрукт?
РЕШЕНИЕ.
«Хотя бы один фрукт» означает, что может быть выбраны: 1 фрукт, 2 фрукта, 3 фрукты из находящихся в вазе. Общее число способов – СУММА всех вариантов выбора: 1 фрукта, 2 фруктов и 3 фруктов.
Слайд 66
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-65.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
Слайд 67
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-66.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
Слайд 68
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-67.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
Слайд 69
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами 2 фрукта из 3 можно выбрать](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-68.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
Слайд 70
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами 2 фрукта из 3 можно выбрать](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-69.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
Слайд 71
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами 2 фрукта из 3 можно выбрать](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-70.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
Слайд 72
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-71.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
способами
Слайд 73
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-72.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать
Слайд 74
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-73.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Слайд 75
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-74.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов:
Слайд 76
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-75.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов: 3 + 3 + 1 =
Слайд 77
![ПРИМЕР 7 РЕШЕНИЕ. 1 фрукт из 3 можно выбрать способами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-76.jpg)
ПРИМЕР 7
РЕШЕНИЕ.
1 фрукт из 3 можно выбрать
способами
2 фрукта из 3
можно выбрать
способами
3 фрукта из 3 можно выбрать 1 способом
Общее количество способов: 3 + 3 + 1 = 7
Слайд 78
![ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КОМБИНАТОРИКЕ Правило произведения. Если объект A](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-77.jpg)
ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПО КОМБИНАТОРИКЕ
Правило произведения. Если объект A можно выбрать
из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A, B) в указанном порядке может быть выбрана (m·n) способами.
Слайд 79
![ПРИМЕР 8 В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-78.jpg)
ПРИМЕР 8
В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько существует способов
выбрать председателя и заместителя председателя комиссии?
Слайд 80
![ПРИМЕР 8 В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-79.jpg)
ПРИМЕР 8
В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько существует способов
выбрать председателя и заместителя председателя комиссии?
РЕШЕНИЕ.
Слайд 81
![ПРИМЕР 8 В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-80.jpg)
ПРИМЕР 8
В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько существует способов
выбрать председателя и заместителя председателя комиссии?
РЕШЕНИЕ.
Если один член комиссии назначается на должность председателя комиссии, то заместитель председателя – из оставшихся членов комиссии.
Слайд 82
![ПРИМЕР 8 В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-81.jpg)
ПРИМЕР 8
В составе комиссии государственного экзамена 5 человек. Сколько существует способов
выбрать председателя и заместителя председателя комиссии?
РЕШЕНИЕ.
Если один член комиссии назначается на должность председателя комиссии, то заместитель председателя – из оставшихся членов комиссии. Т.к. оба назначения должны произойти одновременно, то их общее количество является ПРОИЗВЕДЕНИЕМ вариантов первого и второго назначений
Слайд 83
![ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек - 5](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-82.jpg)
ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек - 5
Слайд 84
![ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя комиссии из 5](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-83.jpg)
ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек – 5.
Из
оставшихся 4 человек заместителя председателя можно выбрать 4 способами.
Слайд 85
![ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя комиссии из 5](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-84.jpg)
ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек – 5.
Из
оставшихся 4 человек заместителя председателя можно выбрать 4 способами.
Общее число комбинаций:
Слайд 86
![ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя комиссии из 5](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-85.jpg)
ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек – 5.
Из
оставшихся 4 человек заместителя председателя можно выбрать 4 способами.
Общее число комбинаций:
5•4 =
Слайд 87
![ПРИМЕР 8 РЕШЕНИЕ. Число вариантов выбора председателя комиссии из 5](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-86.jpg)
ПРИМЕР 8
РЕШЕНИЕ.
Число вариантов выбора председателя комиссии из 5 человек – 5.
Из
оставшихся 4 человек заместителя председателя можно выбрать 4 способами.
Общее число комбинаций:
5•4 = 20
Слайд 88
![КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-87.jpg)
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Слайд 89
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Мерой возможности появления события называется число, называемое вероятностью случайного события (P(A)).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-88.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мерой возможности появления события называется число, называемое вероятностью случайного события (P(A)).
Слайд 90
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Мерой возможности появления события называется число, называемое вероятностью случайного](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-89.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мерой возможности появления события называется число, называемое вероятностью случайного события (P(A)).
Закономерности,
появляющиеся при проведении достаточно большого количества испытаний с каким-либо объектом, называются вероятностными или статистическим закономерностями.
Слайд 91
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-90.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к
общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:
P (A) = m/n,
где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A;
n – число всех возможных элементарных исходов испытания
Слайд 92
![АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-91.jpg)
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Слайд 93
![Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-92.jpg)
Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью
и удовлетворяющее условию:
0 ≤ P(A) ≤ 1
Слайд 94
![Вероятность достоверного события равна единице](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-93.jpg)
Вероятность достоверного события равна единице
Слайд 95
![(аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-94.jpg)
(аксиома сложения вероятностей).
Пусть A и В — несовместные события. Тогда
вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B)
Слайд 96
![Следствие 1. если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то: P(A1+А2+…+Аn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-95.jpg)
Следствие 1.
если события A1, A2, ..., An, попарно несовместны, то:
P(A1+А2+…+Аn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
Слайд 97
![Следствие 2. Если пространство элементарных событий состоит из N равновозможных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-96.jpg)
Следствие 2.
Если пространство элементарных событий состоит из N равновозможных элементарных
событий, то вероятность каждого из них:
Слайд 98
![Следствие 3. Если пространство элементарных событий состоит из N равновозможных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-97.jpg)
Следствие 3.
Если пространство элементарных событий состоит из N равновозможных элементарных
событий, то вероятность события A:
где NA - количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению события A
Слайд 99
![Событием, противоположным событию A, называется событие Ā, состоящее в ненаступлении](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/264567/slide-98.jpg)
Событием, противоположным событию A, называется событие Ā, состоящее в ненаступлении события
A
Теорема
Для любого события вероятность противоположного события выражается равенством:
P(Ā ) = 1 - P(A)