Комплексные числа. Лекция 1 презентация

— действительная часть
— мнимая часть
— число, комплексно сопряженное к

Действия над комплексными числами
Сложение
Умножение
Деление

п.2. Геометрическая интерпретация.
x
y
O

Формы записи комплексных чисел
Алгебраическая
Тригонометрическая
x
y
O

x
y
O
Число r называется модулем числа
и обозначается

Угол между положительным направлением действительной оси и вектором z называется аргументом и обозначается
Значение аргумента, заключенное в границах
называют главным значением аргумента, и обозначают

Замечание 1.
Показательная
Формула Эйлера:

п.3. Свойства модуля и аргумента.
1)
Доказательство.

Замечание 2.
Замечание 3.
Пусть
Тогда
— формула Муавра

Замечание 4.
Пусть

2)
Доказательство.
Свойство 1)

3)
4) Модуль разности равен расстоянию между и .
x
y
O

п.4. Последовательности комплексных чисел.
Число z называется пределом последовательности , если

Теорема 1.
Замечание 5.
x
y
O
z

Доказательство. Необходимость.
Пусть
Замечание 5

Достаточность.
Пусть
Замечание 5

п.5. Бесконечность и стереографическая проекция.
Последовательность называется сходящейся к , если

-окрестностью точки называется внешность круга с центром в начале координат и радиусом :
-окрестностью конечной точки называется внутренность круга с центром в точке и радиусом :
Если , то

Точка z называется пределом последовательности , если для все точки последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат -окрестности точки z.

x
y
z
N
M
O