Лекция2_Производная презентация

Изменение функции
Пусть на интервале (a,b) задана функция f(x).
Назовем приращением аргумента разность:
а приращением функции – разность:

Понятие производной
Пусть на интервале (a,b) задана функция f(x), и пусть x0 – некоторая точка интервала (a,b).
Производной функции в точке x0 называется предел:

Понятие производной
Функция, имеющая производную в некоторой точке (на некотором интервале), называется дифференцируемой в этой точке (на некотором интервале).
Если ввести понятие приращения аргумента, то формула может быть записана в виде:

Понятие производной
Обозначения производной:
Операция вычисления производной называется дифференцированием.

Производные элементарных функций

Правила дифференцирования
Производная суммы функций равна сумме производных:
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Правила дифференцирования
3) Производная произведения функций:
4) Производная отношения двух функций:
5) Производная сложной функции (цепное правило):

Производные высоких порядков
Результат дифференцирования – это функция; если существует производная у функции, полученной в результате дифференцирования, то такая производная называется второй производной:
По аналогии определяются производные более высоких порядков.

Физический смысл производной
Первая производная координаты по времени – скорость тела:
Вторая производная координаты по времени – ускорение:
Производная выражает скорость/быстроту изменения той или иной величины в зависимости от другой.

Дифференциал функции
Если функция имеет в точке x0 производную, то произведение:
называется дифференциалом функции f(x) в точке x0.
Дифференциалом независимой переменной называется выражение: