Лінійна крайова задача для звичайного диференціального рівняння другого порядку презентация

Бурхливий розвиток обчислювальної техніки у 50-60-х роках минулого століття наклав свій відбиток на обчислювальну математику, предметом якої є чисельні методи та питання їх обґрунтування.

Інженеру часто доводиться зіштовхуватись з диференційними рівняннями і системами диференційних рівнянь при розробці нових виробів чи технологічних процесів, так як більша частина законів фізики формалізується саме у вигляді диференційних рівнянь.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Завдання 1
Розв’язати з точністю 10-5 наступну крайову задачу:
y''=-fixy'-cosaxy+2x2+2x-4,
y0=0, y1=0; a=0.7

Завдання 2
Дана пластина , розміром A*B зроблена з двох матеріалів 1 і 2, коефіцієнт теплопровідності яких a1 і a2. Всередині пластини вирізано вікно, розмірами a*b, в якому постійно підтримується температура (нагрівач з температурою Тн). Початкова температура всій пластини Т0. Температура навколишньої середи Тs. Знайти розподіл температурного поля.

Рівняння, у якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням.

Методи розв’язку рівнянь:
Метод стрільби;
Метод прогонки;
Метод зведення до задачі Коші;
Різницевий метод.

Метод стрільби

Метод прогонки
Схема методу прогонки.

Блок-схема методу прогонки

Метод зведення до задачі Коші.

Різницевий метод

Вирішення крайової задачі

Двовимірна задача теплопровідності
функції в двох крайніх вузлах різницевої сітки, виглядає наступним чином:
;
.

Користуючись теоремою про збіжність різницевої задачі, маємо, що із апроксимації і стійкості слідує збіжність.

На рисунках ми бачимо розподіл температур всередині пластини розміром А*В яка виконана з двом матеріалів. В середині пластини є виріз в який вставлено нагрівач заданої температури, відбувається поступове нагрівання пластини, що зображено на рисунку. Через неізольовані грані відбувається теплообмін із середовищем яке має температуру нижчу за температуру платини, тому температура на цих гранях поступово знижується.

ВИСНОВКИ
Курсова робота виконана на тему «Лінійна крайова задача для звичайного диференціального рівняння другого порядку ». В даній роботі було розглянуто основні поняття про диференційні рівняння та теоретичні відомості. Також були описанні методи рішення параболічних рівнянь в приватних похідних. Був розглянутий приклад рішення крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку та змодельоване його рішення, та були отримані певні результати, описані вище.
Також у курсовій роботі було розглянуто і з модельовано процес нагрівання пластини складної конфігурації з початковими даними. Комп’ютерна реалізація даної задачі дала нам певні розрахунки, які підтвердили, що з часом температура у пластині стає стаціонарною.