Логарифмы. Свойства логарифмов презентация

Открытие логарифма
Определение логарифма
Свойства логарифмов
Дополнительные формулы
Свойства логарифмической функции
График функции
Решение логарифмических уравнений
Примеры решения уравнений
Решение логарифмических неравенств
Примеры решения неравенств
СОДЕРЖАНИЕ

История логарифма началась в 17 веке. Логарифмы были изобретены шотландским дворянином Джоном Непером (1550-1617),опубликовавшим свои работы в 1614 году. Независимо от него и примерно в то же время пришел к открытию логарифмов швейцарский часовщик, математик и изобретатель Йост Бюрги (1552-1632), который опубликовал свои таблицы в 1620 году. Таблицы, опубликованные Непером и Бюрги были таблицами натуральных логарифмов, а первая таблица десятичных логарифмов опубликована в 1617 году Г.Бриггсом.
ОТКРЫТИЕ ЛОГАРИФМА

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b( loga b = c ac= b), при этом должно быть a > 0, a = 1, b >0
Основное логарифмическое тождество: a loga b = b, b > 0

При любом a > 0 (a = 1) и любых положительных x и y:
loga 1 = 0
loga a = 1
loga xp = ploga x
loga xy = loga x + loga y
loga = loga x – loga y
loga x =
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ

loga b =
logn b*logm c=logm b*logn c
logak bk = loga b
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ

Логарифмическая функция
y = loga x
D(y) = R+
E(y) = R
a > 1
0 < a < 1
y возрастает на R+
y убывает на R+
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

a > 1
0 < a< 1

Логарифмическое уравнение
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим
Простейшее логарифмическое уравнение loga x=b, a > 0; a = 1
logaf(x)=logag(x) равносильно системе: f(x)=g(x)
f(x)>0 g(x)>0
Корни подставляют в уравнение для исключения посторонних корней
Полезен метод введения новой переменной
Метод логарифмирования, если переменная есть и в основании, и в показателе степени
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

xlog2x+2=8
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
log2(xlog2x+2)=log28,
(log2x+2)*log2x=3.
Пусть log2x=y, тогда
y2+ 2y - 3 = 0 ,
y = 1 или y = -3.
log2x=1 или log2x=-3
x = 2 или x = 1/8
log2(x-1)=6,
x-1>0, т.е. x>1
По определению логарифма:
x - 1 = 62
x – 1 = 36
x = 37
log52x - log5x = 2
Пусть log5x = y,
тогда y2 – y = 2,
y2 – y –2 = 0,
y = 2 или y = -1
log5x=2, log5x= -1
x = 25 или x = 1/5
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Логарифмическое неравенство
Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма
loga f(x) > loga g(x)
f(x) > g(x) > 0
при a >1
0 < f(x) < g(x)
при 0 < a < 1
РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ