Математические методы обработки результатов педагогического эксперимента презентация

Математическая статистика
Раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

Предмет математической статистики
Изучение случайных величин (событий, процессов) по результатам наблюдений.

Задачи математической статистики
Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала необходимо обработать (упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде).
Оценить интересующие характеристики наблюдаемой случайной величины.
Проверить статистические гипотезы (решить вопрос согласования результатов оценивания с опытными данными)

Статистика позволяет
Оценивать степень достоверности распространения выводов о состоянии обследованного множества объектов на более широкое множество (с выборочного на генеральное).
Делать вероятностные прогнозы о динамике смены состояния.
Объяснять наблюдаемое с определенной степенью достоверности наличием скрытых связей явлений различной силы и устойчивости.

Статистический вывод
Результат проверки методами статистики статистической гипотезы.
Это утверждение о степени надежности вывода, сделанного по полученным в результате измерения статистических данных.
Статистическая гипотеза

Выборка
Выборочная совокупность – совокупность объектов, отобранных из генеральной совокупности для измерения.
Совокупность объектов, на которые распространяется статистический вывод.
Генеральная совокупность

Репрезентативность выборки
Для получения хороших оценок характеристик генеральной совокупности необходимо, чтобы выборка достаточно полно представляла изучаемые признаки генеральной совокупности.
Условие репрезентативности выборки - все объекты генеральной совокупности должны иметь равные вероятности попасть в выборку.

Способы отбора выборки
Случайная выборка (случайным отбором
5-10% из генеральной совокупности).
Механическая выборка (отбирается из генеральной совокупности через определенный интервал).
Типическая выборка (отбирается путем предварительной классификации элементов генеральной совокупности по какому-то признаку).

Обработка
Вся совокупность значений случайной величины представляет собой первичный статистический материал, который подлежит дальнейшей обработке, прежде всего – упорядочению.

Ранжирование
Операция разложения значений случайной величины (признака) по неубыванию.
Последовательность ранжированных значений статистических данных называется вариационным рядом.

Статистический ряд
Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты в ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборки – относительными частотами.
Перечень вариантов и соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.

Пример
В результате тестирования группа абитуриентов набрала баллы: 5,3,0,1,4,2,5,4,1,5.
Проранжируем данные: 0,1,1,2,3,4,4,5,5,5
(вариационный ряд)
Посчитаем частоту вариантов
Посчитаем относительную частоту вариантов
(статистический ряд)

Статистический ряд
Графическое изображение статистического интервального ряда:
1) дискретный – полигон
2) интервальный – гистограмма

Полигон частот
Ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (хi, ni),
Полигон частостей – с координатами (xi, pi).
Варианты xi откладываются на оси абсцисс,
частоты – на оси ординат).
Построим полигон частости:

Гистограмма
Измерили рост наудачу отобранных 30 студентам. Результаты: 178,160,154,183,
155,153,167,186,163,155,157,175,170,166,159,
173,182,167,171,169,179,165,156,179,158,171,
175,173,164,172. Построить интервальный статистический ряд и гистограмму частостей.

Основные законы распределения
случайной величины
Биноминальный
Распределение Пуассона
Геометрическое распределение
Равномерный закон распределения
Показательный закон распределения
Нормальный закон распределения

Числовые характеристики статистического распределения
Выборочное среднее
Выборочная дисперсия
Выборочное среднее квадратическое отклонение
Размах вариации
Мода вариационного ряда
Медиана вариационного ряда

Проверка статистических гипотез
Процедура сопоставления гипотезы с выборочными данными называется проверкой гипотез.
Статистическими методами гипотезу можно опровергнуть или не опровергнуть.

Типы статистических гипотез
Гипотеза о виде закона распределения случайной величины
Гипотеза о свойствах тех или иных числовых характеристик ряда
Гипотезы о стохастической зависимости двух и более случайных величин
Гипотезы о равенстве или различии законов распределения случайных величин

Статистические гипотезы
Одну гипотезу выделяют в качестве основной и обозначают Но, а другую, являющуюся логическим отрицанием Но,
т.е. противоположную основной – в качестве альтернативной гипотезы и обозначают Н1.

Статистическая значимость
Основной результат проверки статистической гипотезы, это вероятность принятия гипотезы Н1, при условии, что справедлива Но, чем меньше уровень значимости, тем надёжнее статистический вывод.

Статистический критерий
Инструмент определения уровня статистической значимости.
Критерий включает в себя:
Формулу для расчета значения критерия
Правило (формулу) определения числа степеней свободы случайной величины
Теоретическое распределение случайной величины с данной степенью свободы
Правило соотнесения эмпирического значения критерия с теоретическим распределением для определения вероятности того, что верна нулевая гипотеза.

U-критерий Манна-Уитни
Используется для оценки различий между двумя малыми выборками.
Нулевая гипотеза H0={уровень признака во второй выборке не ниже уровня признака в первой выборке}; альтернативная гипотеза – H1={уровень признака во второй выборке ниже уровня признака в первой выборке}.

Пример
Проведение срезовой контрольной работы по математике (алгебра и геометрия) в средней общеобразовательной школе дало следующие результаты по 10-балльной шкале для класса, обучающегося по программе «Развивающего обучения» (7 «Б»), и класса, обучающегося по традиционной системе (7 «А»):