Слайд 2
![ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Даны: - отрезок [a,b], - неотрицательная функция f(x) Криволинейная трапеция Площадь?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-1.jpg)
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Даны:
- отрезок [a,b],
- неотрицательная функция f(x)
Криволинейная трапеция
Площадь?
Слайд 3
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-2.jpg)
Слайд 4
![4 шага: Разбить отрезок. Выбрать точки. Интегральная сумма. Перейти к пределу.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-3.jpg)
4 шага:
Разбить отрезок.
Выбрать точки.
Интегральная сумма.
Перейти к пределу.
Слайд 5
![a=x0 Δxi=xi−xi−1 (i=1,2,…,n) 2. ξ1∈[x0,x1], ξ2∈[x1,x2],…, ξn∈[xn−1,xn] 3. Интегральная сумма f(ξ1)Δx1+ f(ξ2)Δx2+…+f(ξn)Δxn](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-4.jpg)
a=x0 Δxi=xi−xi−1 (i=1,2,…,n)
2. ξ1∈[x0,x1], ξ2∈[x1,x2],…, ξn∈[xn−1,xn]
3. Интегральная сумма
f(ξ1)Δx1+ f(ξ2)Δx2+…+f(ξn)Δxn
Слайд 6
![4. λ=max{Δxi} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если предел интегральных сумм](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-5.jpg)
4. λ=max{Δxi}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если предел интегральных сумм
Слайд 7
![при λ→0 существует, то он называется определенным интегралом от функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-6.jpg)
при λ→0 существует, то он называется определенным интегралом от функции f(x)
по отрезку [a,b], обозначается
В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].
Слайд 8
![Особенность предела! Пример интегрируемой функции: f(x)=с. Замечание. Если функция интегрируемая,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-7.jpg)
Особенность предела!
Пример интегрируемой функции: f(x)=с.
Замечание. Если функция интегрируемая, то она
ограниченная. Обратное неверно (функция Дирихле)
Слайд 9
![Много ли интегрируемых функций? ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-8.jpg)
Много ли интегрируемых функций?
ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[a,b], то она
интегрируема на этом отрезке
ТЕОРЕМА 2. Монотонная ограниченная функция является интегрируемой.
.
Слайд 10
![СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. (договоренность) 2. (договоренность)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-9.jpg)
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. (договоренность)
2. (договоренность)
Слайд 11
![3. (линейность) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b],](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-10.jpg)
3. (линейность) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то
функция
сf(x)+dg(x) также интегрируема на [a,b], причем
Слайд 12
![4. Произведение интегрируемых функций интегрируемая функция. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-11.jpg)
4. Произведение интегрируемых функций интегрируемая функция. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПРОИЗВЕДЕНИЯ
НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
5. Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема и на [с,d] ⊂ [a,b].
Слайд 13
![6. (аддитивность) Если функция f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b]](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-12.jpg)
6. (аддитивность) Если функция f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b] ,
то она интегрируема и на [a,b]. При этом
Формула справедлива при любом расположении точек a, b, c
Слайд 14
![ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ Если f(x)≥0 на [a,b] и интегрируемая, то 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-13.jpg)
ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ
Если f(x)≥0 на [a,b] и интегрируемая, то
2. Если f(x)≥m на
[a,b] и интегрируемая, то
Слайд 15
![3. Если непрерывная функция f(x)≥0 на [a,b] и f(x)>0 в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-14.jpg)
3. Если непрерывная функция f(x)≥0 на [a,b] и f(x)>0 в некоторой
точке, то
4. Если f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b] и
f(x)≥g(x), то
Слайд 16
![5. Если функция f(x) интегрируемая на [a,b], то |f(x)| также интегрируема и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-15.jpg)
5. Если функция f(x) интегрируемая на [a,b], то |f(x)| также интегрируема
и
Слайд 17
![6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b], f(x)≥0 и m≤ g(x)≤M. Тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-16.jpg)
6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b], f(x)≥0 и m≤
g(x)≤M. Тогда
Слайд 18
![ТЕОРЕМА 3 (о среднем значении). Пусть f(x) интегрируемая на [a,b]](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-17.jpg)
ТЕОРЕМА 3 (о среднем значении).
Пусть f(x) интегрируемая на [a,b]
и m≤
f(x)≤M.
Существует число μ∈[m,M], для которого
Геометрический смысл
Слайд 19
![СЛЕДСТВИЕ. Если дополнительно функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует число ξ∈[a,b], для которого](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-18.jpg)
СЛЕДСТВИЕ. Если дополнительно функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует число
ξ∈[a,b], для которого
Слайд 20
![ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-19.jpg)
ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ
Слайд 21
![ТЕОРЕМА 4. Функция F(x) непрерывная. ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-20.jpg)
ТЕОРЕМА 4. Функция F(x) непрерывная.
ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) непрерывная, то
функция F(x) дифференцируемая, причем F′ (x)=f(x).
Слайд 22
![СЛЕДСТВИЕ. (Формула Ньютона-Лейбница) Если функция f(x) непрерывная на [a,b] и Φ(x) – первообразная f(x), то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-21.jpg)
СЛЕДСТВИЕ. (Формула Ньютона-Лейбница)
Если функция f(x) непрерывная на [a,b] и Φ(x) –
первообразная f(x), то
Слайд 23
![a=0, b=π/2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-22.jpg)
a=0, b=π/2
Слайд 24
![ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ ТЕОРЕМА 6. Пусть Тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-23.jpg)
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
ТЕОРЕМА 6. Пусть
Тогда
Слайд 25
![ПРИМЕРЫ 1. 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-24.jpg)
Слайд 26
![ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ТЕОРЕМА 7. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-25.jpg)
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
ТЕОРЕМА 7. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные
на отрезке [a,b].
Тогда
Слайд 27
![ПРИМЕРЫ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-26.jpg)
Слайд 28
![ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Длина дуги кривой t - параметр Функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-27.jpg)
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Длина дуги кривой
t - параметр
Функции непрерывные!
Если разным значениям параметра
соответствуют разные точки плоскости, то дуга называется простой.
Слайд 29
![ЗАМЕЧАНИЯ 1. Входят кривые, заданные уравнениями y=f(x). 2. Параметр не](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-28.jpg)
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Входят кривые, заданные уравнениями
y=f(x).
2. Параметр не единственный! Непрерывная монотонная
функция u(t), u – тоже параметр
Слайд 30
![Строфоида Простые дуги на множествах t 0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-29.jpg)
Строфоида
Простые дуги на множествах t<0, t>0
Слайд 31
![Пространственные кривые Пример x=r sin t, y=r cos t, z=ct](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-30.jpg)
Пространственные кривые
Пример
x=r sin t, y=r cos t, z=ct
Слайд 32
![Длина дуги. Диагональ квадрата Вписанная ломаная x=ϕ(t), y=ψ(t)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-31.jpg)
Длина дуги. Диагональ квадрата
Вписанная ломаная x=ϕ(t), y=ψ(t)
Слайд 33
![Шаг разбиения λ=max{Δti} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел длин вписанных ломаных при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-32.jpg)
Шаг разбиения λ=max{Δti}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел длин вписанных ломаных при λ→0, если
он существует, называется длиной дуги, дуга в этом случае называется спрямляемой.
Слайд 34
![ТЕОРЕМА 8 (Достаточные условия спрямляемости. Вычисление длины дуги) Пусть функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-33.jpg)
ТЕОРЕМА 8 (Достаточные условия спрямляемости. Вычисление длины дуги)
Пусть функции x=ϕ(t), y=ψ
(t) имеют непрерывные производные на отрезке [α,β].
Тогда дуга спрямляемая, ее длина
Для дуги пространственной кривой - аналогично
Слайд 35
![Если дуга спрямляемая, то длина не зависит от параметризации непрерывно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-34.jpg)
Если дуга спрямляемая, то длина не зависит от параметризации непрерывно дифференцируемой
функцией.
Если спрямляемая кривая разбита на части, то каждая часть спрямляемая и длина всей дуги равна сумме длин частей.
Пусть l=l(t) – длина дуги кривой от α до t.
l – параметр (натуральный)
Слайд 36
![Для кривой y=f(x) Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением r(θ) (θ1≤ θ ≤ θ2)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-35.jpg)
Для кривой y=f(x)
Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением r(θ) (θ1≤
θ ≤ θ2)
Слайд 37
![Дифференциал дуги Для пространственной кривой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-36.jpg)
Дифференциал дуги
Для пространственной кривой
Слайд 38
![Примеры вычисления длины дуги. 1. Циклоида 2. Цепная линия [0,a] 3. Длина дуги эллипса](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-37.jpg)
Примеры вычисления длины дуги.
1. Циклоида
2. Цепная линия
[0,a]
3. Длина дуги
эллипса
Слайд 39
![ПЛОШАДЬ ПЛОСКИХ ФИГУР 1. Криволинейная трапеция](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-38.jpg)
ПЛОШАДЬ ПЛОСКИХ ФИГУР
1. Криволинейная трапеция
Слайд 40
![2. Криволинейный сектор](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-39.jpg)
Слайд 41
![Примеры 1. y=x2, [0,1] 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-40.jpg)
Слайд 42
![3. Трилистник](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-41.jpg)
Слайд 43
![ОБЪЕМ ТЕЛ Объем аддитивен Объем единичного кубика 1 ОТСЮДА Объем цилиндрического тела V=Sh](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-42.jpg)
ОБЪЕМ ТЕЛ
Объем аддитивен
Объем единичного кубика 1
ОТСЮДА
Объем цилиндрического тела V=Sh
Слайд 44
![S(x) – площадь сечения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-43.jpg)
Слайд 45
![Объем тела вращения Криволинейная трапеция a≤x≤b, 0≤y≤f(x), f(x) – непрерывная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-44.jpg)
Объем тела вращения
Криволинейная трапеция
a≤x≤b, 0≤y≤f(x), f(x) – непрерывная функция
Тело получено вращением
трапеции вокруг оси абсцисс
Слайд 46
![ПРИМЕРЫ 1. y=sin x на [0,π] 2. Астроида](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-45.jpg)
ПРИМЕРЫ
1. y=sin x на [0,π]
2. Астроида
Слайд 47
![ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-46.jpg)
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Слайд 48
![Площадь боковой поверхности конического тела li=](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-47.jpg)
Площадь боковой поверхности конического тела
li=
Слайд 49
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Площадью поверхности вращения называется λ=max{Δxi}](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-48.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Площадью поверхности вращения называется
λ=max{Δxi}
Слайд 50
![При параметрическом задании](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-49.jpg)
При параметрическом задании
Слайд 51
![ПРИМЕРЫ 1. 2. Циклоида](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-50.jpg)
Слайд 52
![НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Обобщение интеграла на бесконечные промежутки и неограниченные функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-51.jpg)
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Обобщение интеграла на бесконечные промежутки и неограниченные функции
1 рода
Пусть функция
f(x)
определена на [a,∞)
интегрируемая на [a,b]
Слайд 53
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Несобственным интегралом 1 рода называется Если предел не существует, то интеграл расходится](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-52.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Несобственным интегралом 1 рода называется
Если предел не существует,
то интеграл расходится
Слайд 54
![Примеры](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-53.jpg)
Слайд 55
![Аналогично Если f(x) непрерывна на всей прямой, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-54.jpg)
Аналогично
Если f(x) непрерывна на всей прямой, то
Слайд 56
![Достаточное условие сходимости НИ 1 рода ТЕОРЕМА 9. Если f(x)≥0,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-55.jpg)
Достаточное условие сходимости НИ 1 рода
ТЕОРЕМА 9. Если f(x)≥0, интегрируема на
[a,b] при любом b>a и
то
сходится.
Слайд 57
![НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-56.jpg)
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА
Слайд 58
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Несобственным интегралом 2 рода называется Обозначение Если предел не существует, то интеграл расходится.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-57.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Несобственным интегралом 2 рода называется
Обозначение
Если предел не
существует, то интеграл расходится.
Слайд 59
![Аналогично, если особая точка – левый конец промежутка. ПРИМЕР.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-58.jpg)
Аналогично, если особая точка – левый конец промежутка.
ПРИМЕР.
Слайд 60
![ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовая последовательность ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовым рядом называется символ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-59.jpg)
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Числовая последовательность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовым рядом называется символ
Слайд 61
![Частичные суммы ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовой ряд сходится, если существует S](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-60.jpg)
Частичные суммы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовой ряд сходится, если существует
S – сумма ряда
Если предел не существует, то ряд расходится.
Слайд 62
![ПРИМЕРЫ 1. 1−1+1−1+… 2. 3.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-61.jpg)
Слайд 63
![ТЕОРЕМА 10 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то ui→ 0. ПРИМЕР.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-62.jpg)
ТЕОРЕМА 10 (необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд сходится, то ui→ 0.
ПРИМЕР.
Слайд 64
![ЗАМЕЧАНИЯ. 1. 3.Сумма сходящихся рядов сходящийся ряд.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-63.jpg)
ЗАМЕЧАНИЯ.
1.
3.Сумма сходящихся рядов сходящийся ряд.
Слайд 65
![РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ ТЕОРЕМА 11. Для сходимости ряда с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-64.jpg)
РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
ТЕОРЕМА 11. Для сходимости ряда с положительными членами
необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены.
ТЕОРЕМА 12. (признак сравнения) Пусть
и -
ряды с положительными членами, причем
Если сходится ряд , то сходится и ряд
Если расходится ряд , то расходится и ряд
Слайд 66
![ЗАМЕЧАНИЯ. 1. То же самое справедливо, если при некотором c>0.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-65.jpg)
ЗАМЕЧАНИЯ.
1. То же самое справедливо, если при некотором c>0.
2. Неравенство
может выполняться начиная с некоторого i.
Слайд 67
![ТЕОРЕМА 13. (предельный признак сравнения) Если , - ряды с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-66.jpg)
ТЕОРЕМА 13. (предельный признак сравнения)
Если , - ряды с положительными
членами,
причем
существует
то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Слайд 68
![ПРИМЕРЫ 1. 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-67.jpg)
Слайд 69
![ТЕОРЕМА 14. (Признак Даламбера) 1. Если члены ряда положительные и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-68.jpg)
ТЕОРЕМА 14. (Признак Даламбера)
1. Если члены ряда положительные и
начиная
с некоторого номера
то ряд сходится (расходится)
Слайд 70
![2. Если существует предел то при L при L>1 ряд расходится](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-69.jpg)
2. Если существует предел
то при L<1 ряд сходится,
при L>1 ряд
расходится
Слайд 71
![ТЕОРЕМА 15. (Признак Коши) 1. Если начиная с некоторого номера](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-70.jpg)
ТЕОРЕМА 15. (Признак Коши)
1. Если начиная с некоторого номера
то ряд
сходится (расходится).
2. Если существует предел
то при L<1 ряд сходится,
при L>1 ряд расходится
Слайд 72
![ПРИМЕРЫ 1. 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-71.jpg)
Слайд 73
![ТЕОРЕМА 16. (Интегральный признак сходимости). Пусть неотрицательная функция f(x) является](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-72.jpg)
ТЕОРЕМА 16. (Интегральный признак сходимости).
Пусть неотрицательная функция f(x) является невозрастающей
на множестве [1,+∞).
Ряд и
сходятся или расходятся одновременно.
Слайд 74
![ПРИМЕРЫ 1. 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-73.jpg)
Слайд 75
![Для произвольных рядов – критерий Коши (следствие критерия для последовательностей)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-74.jpg)
Для произвольных рядов – критерий Коши
(следствие критерия для последовательностей)
ТЕОРЕМА 17. Для
сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы
Слайд 76
![Знакопеременные ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-75.jpg)
Знакопеременные ряды
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Числовой ряд
называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд
Слайд 77
![ТЕОРЕМА 18. Если ряд сходится абсолютно, то ряд сходится. ОПРЕДЕЛЕНИЕ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-76.jpg)
ТЕОРЕМА 18. Если ряд сходится абсолютно, то ряд сходится.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Сходящийся
ряд
сходится условно, если ряд расходится.
Слайд 78
![Перестановки ряда ТЕОРЕМА 19. (Коши) Перестановка любого абсолютно сходящегося ряда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-77.jpg)
Перестановки ряда
ТЕОРЕМА 19. (Коши) Перестановка любого абсолютно сходящегося ряда – абсолютно
сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
ТЕОРЕМА 20. (Риман) Если ряд сходится условно, то для любого L существует перестановка ряда, сумма которой равна L.
Слайд 79
![Знакочередующийся ряд ТЕОРЕМА 21. (Признак Лейбница) Если ряд удовлетворяет условиям](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-78.jpg)
Знакочередующийся ряд
ТЕОРЕМА 21. (Признак Лейбница) Если ряд
удовлетворяет условиям
-
последовательность
убывает
и является бесконечно малой,
то он сходится
Слайд 80
![Пример Следствие. Для ряда лейбницевского типа Отсюда, для любого k](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-79.jpg)
Пример
Следствие. Для ряда лейбницевского типа
Отсюда, для любого k
Слайд 81
![ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Функциональная последовательность Функциональный ряд Определены на множестве X](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-80.jpg)
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
Функциональная последовательность
Функциональный ряд
Определены на множестве X
Слайд 82
![ПРИМЕРЫ 1. 2. Ряд](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-81.jpg)
Слайд 83
![Область сходимости Предельная функция для последовательности Сумма функционального ряда Предельная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-82.jpg)
Область сходимости
Предельная функция для последовательности
Сумма функционального ряда
Предельная функция для примера 1.
ex
cумма ряда их примера 2
Слайд 84
![Равномерная сходимость ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функциональная последовательность равномерно сходится к функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-83.jpg)
Равномерная сходимость
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функциональная последовательность
равномерно сходится к функции f(x)
на множестве X, если
Для рядов аналогично
Слайд 85
![Пример 1 – не равномерная сходимость ТЕОРЕМА 22. (Критерий Коши](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-84.jpg)
Пример 1 – не равномерная сходимость
ТЕОРЕМА 22. (Критерий Коши равномерной сходимости
функц. последовательностей)
Для равномерной сходимости функц. последовательности на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
Слайд 86
![ТЕОРЕМА 23. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. рядов) Для равномерной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-85.jpg)
ТЕОРЕМА 23. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. рядов)
Для равномерной сходимости функц.
ряда на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
Слайд 87
![ТЕОРЕМА 24. (Признак Вейерштрасса) Если для функционального ряда существует сходящийся](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-86.jpg)
ТЕОРЕМА 24. (Признак Вейерштрасса)
Если для функционального ряда
существует сходящийся числовой ряд
такой, что
при всех x то функц. ряд сходится равномерно.
МАЖОРАНТА
Слайд 88
![ПРИМЕР Признак Вейерштрасса ДОСТАТОЧНЫЙ, НО НЕ НЕОБХОДИМЫЙ. ПРИМЕР.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-87.jpg)
ПРИМЕР
Признак Вейерштрасса ДОСТАТОЧНЫЙ, НО НЕ НЕОБХОДИМЫЙ.
ПРИМЕР.
Слайд 89
![ТЕОРЕМА 25. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится равномерно на отрезке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-88.jpg)
ТЕОРЕМА 25. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций
сходится равномерно на отрезке [a,b]
к функции f(x).
Тогда функция f(x) также НЕПРЕРЫВНАЯ.
Для рядов аналогично.
Условие ДОСТАТОЧНОЕ, не НЕОБХОДИМОЕ
Слайд 90
![ТЕОРЕМА 26. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится РАВНОМЕРНО на отрезке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-89.jpg)
ТЕОРЕМА 26. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций
сходится РАВНОМЕРНО на отрезке [a,b]
к функции f(x).
Тогда последовательность
сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции
Слайд 91
![Для всего промежутка Для рядов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-90.jpg)
Для всего промежутка
Для рядов
Слайд 92
![ТЕОРЕМА 27. Пусть функции fn(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b],](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-91.jpg)
ТЕОРЕМА 27. Пусть функции fn(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], причем
последовательность
производных f′n(x) РАВНОМЕРНО сходится (к функции g(x)),
При некотором c∈[a,b] последовательность {fn(c)} сходится.
ТОГДА
последовательность {fn(x)} сходится равномерно (к функции G(x)),
функция G(x) дифференцируемая и G′ (x)=g(x).
Слайд 93
![Иная форма записи: Для рядов: при соответствующих условиях](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-92.jpg)
Иная форма записи:
Для рядов: при соответствующих условиях
Слайд 94
![СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Степенным рядом называется функциональный ряд вида Далее будем рассматривать случай x0=0.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-93.jpg)
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
Далее будем рассматривать
случай x0=0.
Слайд 95
![Область сходимости степенного ряда Всегда сходится в 0. Может сходиться](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-94.jpg)
Область сходимости степенного ряда
Всегда сходится в 0.
Может сходиться только в 0
Может сходиться абсолютно при любом x
Слайд 96
![ТЕОРЕМА 28. Пусть степенной ряд сходится при некотором x≠0 и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-95.jpg)
ТЕОРЕМА 28. Пусть степенной ряд сходится при некотором x≠0 и сходится.
не всюду Существует такое число R>0 (радиус сходимости), для которого ряд сходится абсолютно при |x|R .
Если сходится всюду, то полагают R=∞.
Слайд 97
![Основа доказательства: Если ряд сходится, то при |x1| R=sup{x: ряд сходится} Концы промежутка???](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-96.jpg)
Основа доказательства:
Если ряд сходится, то при
|x1|<|x0| ряд сходится абсолютно.
R=sup{x: ряд сходится}
Концы промежутка???
Слайд 98
![Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши ПРИМЕР.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-97.jpg)
Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши
ПРИМЕР.
Слайд 99
![СВОЙСТВА СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА ТЕОРЕМА 29. Пусть R>0 − радиус](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-98.jpg)
СВОЙСТВА СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА
ТЕОРЕМА 29. Пусть R>0 − радиус сходимости степенного
ряда, число
r∈(0, R). На отрезке [−r, r] степенной ряд сходится равномерно.
СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда непрерывна на интервале (−R, R).
Слайд 100
![ТЕОРЕМА 30. Пусть R>0 − радиус сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенных рядов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-99.jpg)
ТЕОРЕМА 30. Пусть R>0 − радиус
сходимости степенного ряда
Радиус сходимости степенных
рядов
Слайд 101
![полученных почленным дифференцированием и интегрированием исходного ряда, также равен R.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-100.jpg)
полученных почленным дифференцированием и интегрированием исходного ряда, также равен R.
Слайд 102
![РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Говорят, что функция](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-101.jpg)
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Говорят, что функция f(x) разлагается
в степенной ряд на интервале (−R, R), если существует степенной ряд, сумма которого на этом интервале равна f(x).
Функция, которая разлагается в степенной ряд, называется аналитической на (−R, R).
Слайд 103
![СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Аналитическая функция имеет непрерывные производные любого порядка.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-102.jpg)
СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Аналитическая функция имеет непрерывные производные любого порядка.
УСЛОВИЕ НЕОБХОДИМОЕ, НО
НЕ ДОСТАТОЧНОЕ!
2. Если функция аналитическая, то коэффициенты степенного ряда определяются однозначно.
Слайд 104
![Если на (−R, R), то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-103.jpg)
Слайд 105
![Ряд называется рядом Тэйлора (или Маклорена) функции f(x).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-104.jpg)
Ряд называется рядом
Тэйлора (или Маклорена) функции f(x).
Слайд 106
![Когда на области сходимости ряда?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-105.jpg)
Когда
на области сходимости ряда?
Слайд 107
![Формула Тейлора Необходимое и достаточное условие: при всех x из интервала сходимости.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-106.jpg)
Формула Тейлора
Необходимое и достаточное условие:
при всех x из интервала сходимости.
Слайд 108
![Остаточный член в форме Лагранжа:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-107.jpg)
Остаточный член в форме Лагранжа:
Слайд 109
![для всякого x (можно рассмотреть ряд) ТЕОРЕМА 31. Если для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-108.jpg)
для всякого x (можно рассмотреть ряд)
ТЕОРЕМА 31. Если для каждого
x из интервала существует число M, для которого
то функция аналитическая.
Слайд 110
![По этому признаку при x∈(−∞,∞)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-109.jpg)
По этому признаку при x∈(−∞,∞)
Слайд 111
![Вычисления Интегралы (считаем, что при t=0)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-110.jpg)
Вычисления
Интегралы (считаем, что при t=0)
Слайд 112
![Можно доказать: при x∈(−1,1)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-111.jpg)
Можно доказать: при x∈(−1,1)
Слайд 113
![ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Рассматриваем функции, определенные на области X плоскости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-112.jpg)
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассматриваем функции, определенные на области X плоскости или пространства
(R2, R3)
f: X→R.
Обозначения: f(M) (M∈X) или f(x,y), f(x1,x2), f(x,y,z), f(x1,x2,x3)
Слайд 114
![Окрестности точки M=(x1,x2,x3)∈X: шары {N∈X:ρ(N, M) параллелепипеды {(y1,y2,y3)∈X:|yi− xi|](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-113.jpg)
Окрестности точки M=(x1,x2,x3)∈X:
шары {N∈X:ρ(N, M)<ε} или
параллелепипеды {(y1,y2,y3)∈X:|yi− xi|<ε}
Слайд 115
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Точка M называется внутренней точкой множества X ,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-114.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Точка M называется внутренней точкой множества X , если
она принадлежит X вместе с НЕКОТОРОЙ окрестностью.
Точка M называется внешней точкой множества X , если НЕКОТОРАЯ ее окрестность не пересекается с X.
Точка M называется граничной точкой множества X, если она не является ни внутренней, ни внешней.
Слайд 116
![Иначе. Точка граничная, если в ЛЮБОЙ ее окрестности есть как](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-115.jpg)
Иначе. Точка граничная, если в ЛЮБОЙ ее окрестности есть как точки,
входящие в X, так и точки, не входящие в X.
Граничные точки множества и его дополнения совпадают.
Слайд 117
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Множество X называется открытым, если все его точки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-116.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Множество X называется открытым, если все его точки внутренние
(не содержит граничных точек).
Множество X называется замкнутым, если в него входят все граничные точки.
ТЕОРЕМА 32. Дополнение открытого множества замкнутое.
Дополнение замкнутого множества открытое.
Слайд 118
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-117.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге
(шаре).
(Непрерывная) кривая - вспомним!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой.
Слайд 119
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в Rk называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-118.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в Rk называется сходящейся,
если существует точка A∈Rk такая, что
A – предел последовательности, Mn→A
Слайд 120
![ТЕОРЕМА 33. Для того, чтобы необходимо и достаточно выполнение условий Предел последовательности если существует, то единственный.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-119.jpg)
ТЕОРЕМА 33. Для того, чтобы
необходимо и достаточно выполнение
условий
Предел последовательности если существует,
то единственный.
Слайд 121
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в в Rk называется фундаментальной, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-120.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в в Rk называется
фундаментальной, если
Слайд 122
![ТЕОРЕМА 34. (Критерий Коши) Сходимость последовательности точек в Rk равносильна ее фундаментальности.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-121.jpg)
ТЕОРЕМА 34. (Критерий Коши) Сходимость последовательности точек в Rk равносильна ее
фундаментальности.
Слайд 123
![НАПОМИНАНИЕ. Множество X⊂Rk ограниченное, если оно содержится в некотором шаре,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-122.jpg)
НАПОМИНАНИЕ. Множество X⊂Rk ограниченное, если оно содержится в некотором шаре, т.е.
Слайд 124
![ТЕОРЕМА 35. (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности точек в Rk можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-123.jpg)
ТЕОРЕМА 35. (Больцано-Вейерштрасса)
Из любой ограниченной последовательности точек в Rk можно
извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Слайд 125
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Число b - предел функции f(M) в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-124.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.
Число b - предел функции f(M) в точке A,
если из того, что Mn→A (Mn≠ A) следует, что f(Mn)→ b.
Число b - предел функции f(M) в точке A, если
Слайд 126
![ОБОЗНАЧЕНИЯ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-125.jpg)
Слайд 127
![ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Число b - предел функции f(M) на бесконечности, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-126.jpg)
ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Число b - предел функции f(M) на
бесконечности, если
Слайд 128
![Арифметические операции Если b=0, то функция бесконечно малая в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-127.jpg)
Арифметические операции
Если b=0, то функция бесконечно малая в точке M.
ПРИМЕР.
(x−1)p+(y−2)q при
p,q>0 – бесконечно малая в точке (1,2).
Слайд 129
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке A,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-128.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22.
1. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если
2. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если
Слайд 130
![Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-129.jpg)
Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой
точке этого множества.
Пусть u=f(M). Приращение функции в точке A:
Δu=f(M)−f(A)
A=(a1, a2), M=(a1+Δx1, a2+Δx2)
Δu=f(a1+Δx1, a2+Δx2)−f(a1, a2)
Слайд 131
![Разностная форма непрерывности:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-130.jpg)
Разностная форма непрерывности:
Слайд 132
![Частные приращения:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-131.jpg)
Слайд 133
![СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУННКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕОРЕМА 36. Если функции f(M)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-132.jpg)
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУННКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ТЕОРЕМА 36.
Если функции f(M) и g(M)
непрерывны в точке A, то функции f(M)±g(M), f(M)⋅g(M), f(M)/g(M) непрерывны в точке A (отношение при g(A)≠0).
Слайд 134
![Сложная функция. Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-133.jpg)
Сложная функция.
Дано: f(x1, x2, x3),
g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1,
t2))
Определена функция
h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
g:R2→R3, h:R3→R
h=g◦f – композиция, суперпзиция
Слайд 135
![ТЕОРЕМА 37. Если функции x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-134.jpg)
ТЕОРЕМА 37.
Если функции
x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)
непрерывны в точке (b1, b2),
функция f(x1, x2, x3) непрерывна в точке
a1= x1 (b1, b2), a2= x2 (b1, b2), a3= x3 (b1, b2),
ТО
функция h(t1, t2) непрерывна в точке
(b1, b2).
Слайд 136
![ТЕОРЕМА 38. (Устойчивость знака) Если функция f(M) непрерывна в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-135.jpg)
ТЕОРЕМА 38. (Устойчивость знака)
Если функция f(M) непрерывна в точке A и
f(A)≠0, то существует окрестность точки A, в которой функция сохраняет знак.
Слайд 137
![ТЕОРЕМА 39.(Аналог теоремы о промежуточном значении) Пусть функция f(M) непрерывна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-136.jpg)
ТЕОРЕМА 39.(Аналог теоремы о промежуточном значении)
Пусть функция f(M) непрерывна на
СВЯЗНОМ множестве X; A,B∈X. Для любого числа a, расположенного между f(A) и f(B), существует точка C∈X, для которой f(C)=a.
Слайд 138
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Замкнутое и ограниченное множество называется компактным.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-137.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Замкнутое и ограниченное множество называется компактным.
Слайд 139
![ТЕОРЕМА 39. (Теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на компактном множестве, ограниченная и достигает наибольшего и наименьшего значений.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-138.jpg)
ТЕОРЕМА 39. (Теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на компактном множестве, ограниченная и
достигает наибольшего и наименьшего значений.
Слайд 140
![ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть точка M(x,y) является внутренней точкой области определения функции f(x,y) Отношения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-139.jpg)
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Пусть точка M(x,y) является внутренней точкой области определения функции f(x,y)
Отношения
Слайд 141
![Вспомним производные! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Частной производной функции f(x,y) в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-140.jpg)
Вспомним производные!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Частной производной функции f(x,y) в точке M(x,y) по
переменной x называется
если предел существует.
Аналогично по y
Слайд 142
![Обозначения: Примеры 1. 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-141.jpg)
Слайд 143
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25. Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y), если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-142.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25. Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y), если
Δf(x,y)=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=
=AΔx+BΔy+α1Δx+α2Δy
A,B НЕ
ЗАВИСЯТ от Δx,Δy
limΔx→0, Δy→0 α1=limΔx→0, Δy→0 α2=0
α1,α2=0 при Δx=Δy=0
Слайд 144
![Другая форма записи. Δf(x,y)=AΔx+BΔy+о(ρ) ЗАМЕЧАНИЕ. Из дифференцируемости следует непрерывность.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-143.jpg)
Другая форма записи.
Δf(x,y)=AΔx+BΔy+о(ρ)
ЗАМЕЧАНИЕ. Из дифференцируемости следует непрерывность.
Слайд 145
![ТЕОРЕМА 40. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке M(x,y), то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-144.jpg)
ТЕОРЕМА 40. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке M(x,y), то в
этой точке существуют частные производные, причем
ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО!
Слайд 146
![u(x,y) – график – поверхность. Что такое «касательная плоскость к поверхности»? На поверхности – точка N0=(x0,y0,u0)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-145.jpg)
u(x,y) – график – поверхность.
Что такое «касательная плоскость к поверхности»?
На поверхности
– точка N0=(x0,y0,u0)
Слайд 147
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26. Плоскость π, проходящая через точку N0, называется касательной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-146.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26. Плоскость π, проходящая через точку N0, называется касательной плоскостью
к поверхности, если угол между этой плоскостью и прямой, проходящей через точку N0 поверхности и любую точку поверхности N1(x,y,u) ≠N0, стремится к 0 при N1→N0
Слайд 148
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-147.jpg)
Слайд 149
![ТЕОРЕМА 41. Если функция u(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-148.jpg)
ТЕОРЕМА 41. Если функция u(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), то касательная
плоскость к графику функции в точке N0 существует и задается уравнением
Слайд 150
![Нормальный вектор к плоскости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-149.jpg)
Нормальный вектор к плоскости
Слайд 151
![Плоскость проходит через точку N0 .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-150.jpg)
Плоскость проходит через точку N0 .
Слайд 152
![Достаточное условие дифференцируемости ТЕОРЕМА 42. Если функция f(x,y) имеет НЕПРЕРЫВНЫЕ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-151.jpg)
Достаточное условие дифференцируемости
ТЕОРЕМА 42. Если функция f(x,y) имеет НЕПРЕРЫВНЫЕ частные производные
в окрестности точки (x,y), то функция в этой точке дифференцируема.
Слайд 153
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Дифференциалом (полным) дифференцируемой функции f(x,y) в точке (x,y) называется Частные дифференциалы:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-152.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Дифференциалом (полным) дифференцируемой функции f(x,y) в точке (x,y) называется
Частные
дифференциалы:
Слайд 154
![Дифференцирование сложной функции Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2),](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-153.jpg)
Дифференцирование сложной функции
Дано: f(x1, x2, x3),
g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2),
x3(t1, t2))
Определена функция
h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2))
g:R2→R3, f:R3→R
h=g◦f – композиция, суперпозиция
Слайд 155
![Точка A∈R2, B=g(A)∈R3 ТЕОРЕМА 43. Пусть - функции xi(t1, t2)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-154.jpg)
Точка A∈R2, B=g(A)∈R3
ТЕОРЕМА 43.
Пусть
- функции xi(t1, t2) (i=1,2,3) дифференцируемы
в точке A,
- функция f дифференцируема в точке B.
ТОГДА
функция h дифференцируема в точке A,
Слайд 156
![ее частные производные равны](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-155.jpg)
ее частные производные равны
Слайд 157
![ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА h(u,v)=f(x(u,v), y(u,v)) u,v – независимые переменные](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-156.jpg)
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
h(u,v)=f(x(u,v), y(u,v))
u,v – независимые переменные
Слайд 158
![ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ d(cu)=cdu d(u±v)=du±dv d(uv)=udv+vdu d(u/v)=(vdu−udv)/v2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-157.jpg)
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
d(cu)=cdu
d(u±v)=du±dv
d(uv)=udv+vdu
d(u/v)=(vdu−udv)/v2
Слайд 159
![ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ f(x, y, z) M0(x0,y0,z0) Вектор l=(cos α,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-158.jpg)
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
f(x, y, z)
M0(x0,y0,z0)
Вектор l=(cos α, cos β, cos γ)
– единичный
Отложим отрезок длины t
Получим точку
M(x0+tcos α,y0+tcos β,z0+tcos γ)
g(t) =f(M)
Слайд 160
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Производной функции f(x, y, z) в точке M0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-159.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Производной функции f(x, y, z) в точке M0 по
направлению вектора l называется производная g′(t) при t=0, если она существует.
Обозначение:
Слайд 161
![ТЕОРЕМА 44. Если функция f(x, y, z) дифференцируема в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-160.jpg)
ТЕОРЕМА 44. Если функция f(x, y, z) дифференцируема в точке M0
, то производная по любому направлению существует.
Слайд 162
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Градиентом дифференцируемой функции f(x, y, z) в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-161.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Градиентом дифференцируемой функции f(x, y, z) в точке M0
называется вектор
Градиент – направление наискорейшего возрастания функции, скорость – модуль градиента.
Слайд 163
![Для двух переменных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-162.jpg)
Слайд 164
![ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Производные Пример: f(x, y) =xy Определяются индуктивно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-163.jpg)
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Производные
Пример: f(x, y) =xy
Определяются индуктивно
Слайд 165
![ТЕОРЕМА 45. Если смешанные производные непрерывны, то они равны. СЛЕДСТВИЕ.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-164.jpg)
ТЕОРЕМА 45. Если смешанные производные
непрерывны, то они равны.
СЛЕДСТВИЕ. Смешанные производные
не зависят от порядка дифференцирования, если они непрерывны.
Слайд 166
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. Функция f(x,y,z) называется n раз дифференцируемой, если все ее частные производные (n−1)-го порядка дифференцируемые.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-165.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. Функция f(x,y,z) называется n раз дифференцируемой, если все ее
частные производные (n−1)-го порядка дифференцируемые.
Слайд 167
![ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. Дифференциалом второго порядка функции f(x,y) называется d2f(x,y)=d(df(x,y)).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-166.jpg)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. Дифференциалом второго порядка функции f(x,y) называется
d2f(x,y)=d(df(x,y)).
Слайд 168
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-167.jpg)
Слайд 169
![x,y НЕЗАВИСИМЫЕ dx, dy тоже Тогда Неинвариантность формы второго дифференциала](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-168.jpg)
x,y НЕЗАВИСИМЫЕ
dx, dy тоже
Тогда
Неинвариантность формы второго дифференциала
Слайд 170
![Индуктивно – дифференциалы более высоких порядков. Оператор](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-169.jpg)
Индуктивно – дифференциалы более высоких порядков.
Оператор
Слайд 171
![ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для одной переменной (n+1)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-170.jpg)
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для одной переменной
(n+1) раз дифференцируемая функция
F(t) на интервале, содержащем отрезок [0,1].
Слайд 172
![Дано: функция f(x,y), (n+1) раз дифференцируемая в окрестности U точки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-171.jpg)
Дано:
функция f(x,y), (n+1) раз дифференцируемая в окрестности U точки M0(x0,y0)
точка
M(x0+Δx,y0+Δy) в этой окрестности.
F(t)=f(x0+tΔx,y0+tΔy)
То же для функции любого числа переменных.
Слайд 173
![ТЕОРЕМА 46. Существует точка N∈U, для которой справедливо равенство Все дифференциалы вычисляются при dx=Δx, dy=Δy.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-172.jpg)
ТЕОРЕМА 46. Существует точка N∈U, для которой справедливо равенство
Все дифференциалы вычисляются
при dx=Δx, dy=Δy.
Слайд 174
![В форме Пеано:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-173.jpg)
Слайд 175
![ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. Функция f(M) (M∈Rn)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-174.jpg)
ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. Функция f(M) (M∈Rn) имеет в
точке M0 локальный минимум (максимум), если существует такая окрестность точки M0 в пределах которой f(M)≥f(M0) (f(M)≤f(M0)).
Локальные экстремумы это локальные максимумы и минимумы.
Слайд 176
![КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33. Пусть A – квадратная симметрическая матрица](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-175.jpg)
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33. Пусть A – квадратная симметрическая матрица n-го порядка.
Функция вида
называется квадратичной формой.
Слайд 177
![ТЕОРЕМА 47. Если функция f(M) (M∈Rn) имеет в точке M0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-176.jpg)
ТЕОРЕМА 47. Если функция f(M) (M∈Rn) имеет в точке M0
-все
частные производные
- локальный экстремум,
то
ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО! Примеры: u=x2+y2+z2, u=x2+y2−z2
Cтационарные (критические) точки.
Слайд 178
![ВИДЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 1. Положительно определенные. F(M)>0 при M=(x1,…, xn)≠0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-177.jpg)
ВИДЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
1. Положительно определенные.
F(M)>0 при M=(x1,…, xn)≠0
Пример: F(x1, x2)=x12+x22
2. Отрицательно
определенные.
F(M)<0 при M=(x1,…, xn)≠0
Пример: F(x1, x2)=−x12−x22
ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ
Слайд 179
![3. Знакопеременная F(M)>0 при некотором M∈Rn F(N) Пример: F(x1, x2)=x12−x22](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-178.jpg)
3. Знакопеременная
F(M)>0 при некотором M∈Rn
F(N)<0 при некотором N∈Rn
Пример: F(x1, x2)=x12−x22
4.
Квазизнакоопределенные
F(M)≥0 (F(M)≤0) при всех M и F(M)=0 при некотором M≠0
Пример: F(x1, x2)=x12+x22−2x1x2
Слайд 180
![ТЕОРЕМА 48. Для положительно определенной квадратичной формы F(x1,x2,…, xn) существует](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-179.jpg)
ТЕОРЕМА 48. Для положительно определенной квадратичной формы F(x1,x2,…, xn) существует положительное
число m такое, что
F(x1,x2,…, xn)≥m(x12 +x22+…+xn2 )
Для отрицательно определенных
F(x1,x2,…, xn) ≤−m(x12 +x22+…+xn2 )
Слайд 181
![Функция f (x1,x2,…, xn) трижды дифференцируемая в точке M0. Квадратичная форма относительно (dx1,dx2,…,dxn)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-180.jpg)
Функция f (x1,x2,…, xn) трижды дифференцируемая в точке M0.
Квадратичная форма
относительно
(dx1,dx2,…,dxn)
Слайд 182
![ТЕОРЕМА 49. Пусть функция f(M) − трижды дифференцируемая в окрестности](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-181.jpg)
ТЕОРЕМА 49. Пусть функция f(M) − трижды дифференцируемая в окрестности стационарной
точки M0.
Если форма
- положительно определенная, то в точке M0 локальный минимум.
- отрицательно определенная, то в точке M0 локальный максимум.
- знакопеременная, то в точке M0 локального экстремума нет.
Слайд 183
![КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-182.jpg)
Слайд 184
![Угловые миноры Если Δ1>0, Δ2>0,…, Δn>0, то кв. форма положительно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-183.jpg)
Угловые миноры
Если Δ1>0, Δ2>0,…, Δn>0, то кв. форма положительно определенная
Если Δ1<0,
Δ2>0, Δ3<0, Δ4>0,…, то форма отрицательно определенная
Слайд 185
![Случай двух переменных f(x,y), M0, df=0 ТЕОРЕМА 50. Если AC−](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-184.jpg)
Случай двух переменных
f(x,y), M0, df=0
ТЕОРЕМА 50. Если AC− B2>0, то функция
f(x,y) имеет в точке M0 локальный экстремум (минимум при A>0, максимум при A<0)
Если AC− B2<0, то функция f(x,y) не имеет в точке M0 локального экстремума.
Слайд 186
![Во втором случае: Форма Ax2+2Bxy+Cy2 A>0 При x=1, y=0 форма положительная При x=−B/A, y=1 форма отрицательная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-185.jpg)
Во втором случае:
Форма Ax2+2Bxy+Cy2
A>0
При x=1, y=0 форма положительная
При x=−B/A,
y=1 форма отрицательная
Слайд 187
![ПРИМЕР f(x,y)=λx2+y2−2x−2y](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-186.jpg)
ПРИМЕР
f(x,y)=λx2+y2−2x−2y
Слайд 188
![НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ Задано уравнение F(x,y,z)=0 Например, x2+y2+z2−1=0 z(x,y) - ?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-187.jpg)
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Задано уравнение F(x,y,z)=0
Например, x2+y2+z2−1=0
z(x,y) - ?
Слайд 189
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-188.jpg)
Слайд 190
![Вопросы: При каких условиях неявная функция существует? Непрерывная? Дифференцируемая?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-189.jpg)
Вопросы:
При каких условиях неявная функция существует? Непрерывная? Дифференцируемая?
Слайд 191
![ТЕОРЕМА 51. Пусть - F(x0,y0,z0)=0 -!!! - F дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0). ТОГДА](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-190.jpg)
ТЕОРЕМА 51. Пусть
- F(x0,y0,z0)=0
-!!!
- F дифференцируема в некоторой окрестности точки
(x0,y0,z0).
ТОГДА
Слайд 192
![Для любого ε>0 существуют окрестность точки (x0,y0) и непрерывная и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-191.jpg)
Для любого ε>0 существуют окрестность точки (x0,y0)
и непрерывная и дифференцируемая
функция z(x,y), определенная на этой окрестности, такая, что
- F(x,y,z(x,y))=0,
- |z(x,y)−z0|<ε
Слайд 193
![Частные производные F(x,y,z)=0 Пример. xyz=sin(x+y+z)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-192.jpg)
Частные производные
F(x,y,z)=0
Пример. xyz=sin(x+y+z)
Слайд 194
![Для двух переменных F(x,y)=0 Пример. sin(x2+y2)=exy](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-193.jpg)
Для двух переменных
F(x,y)=0
Пример. sin(x2+y2)=exy
Слайд 195
![Касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке M0(x0,y0,z0). Полагаем grad F(M0)≠0 Уравнение касательной плоскости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-194.jpg)
Касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке M0(x0,y0,z0).
Полагаем grad
F(M0)≠0
Уравнение касательной плоскости
Слайд 196
![Градиент – нормальный вектор к касательной плоскости (к поверхности) Поверхности уровня Линии уровня](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-195.jpg)
Градиент – нормальный вектор к касательной плоскости (к поверхности)
Поверхности уровня
Линии уровня
Слайд 197
![УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Даны: - функция - условие связи. Требуется найти](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-196.jpg)
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Даны:
- функция
- условие связи.
Требуется найти
Экстремум в точках, координаты которых удовлетворяют
условию связи
Слайд 198
![Пример. z=x2+y2 Условие связи: x+y=1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-197.jpg)
Пример.
z=x2+y2
Условие связи: x+y=1
Слайд 199
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-198.jpg)
Слайд 200
![ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34. Говорят, что функция F(x,y,z) достигает в точке M0(x0,y0,z0)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-199.jpg)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34. Говорят, что функция F(x,y,z) достигает в точке M0(x0,y0,z0) условный
максимум (минимум) при условии связи g(x,y,z)=0, если
g(x0,y0,z0)=0
существует окрестность U точки M0 такая, что для любой точки (x,y,z)∈U, для которой g(x,y,z)=0, справедливо неравенство F(x,y,z)≤F(x0,y0,z0) (F(x,y,z)≥F(x0,y0,z0)).
Слайд 201
![ТЕОРЕМА 52. Если в точке M0(x0,y0,z0) достигается условный экстремум функции](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-200.jpg)
ТЕОРЕМА 52. Если в точке M0(x0,y0,z0) достигается условный экстремум функции F(x,y,z)
при уравнении связи g(x,y,z)=0 и при этом grad g(M0)≠0, то
grad g(M0) | | grad F(M0),
т.е. существует число λ такое, что
grad F(M0)+λ grad g(M0)=0.
Слайд 202
![Φ(x,y,z,λ)=F(x,y,z)+λg(x,y,z) – функция Лагранжа, λ - множитель Лагранжа Уравнения Лагранжа – НЕОБХОДИМЫЕ условия условного экстремума:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-201.jpg)
Φ(x,y,z,λ)=F(x,y,z)+λg(x,y,z) – функция Лагранжа,
λ - множитель Лагранжа
Уравнения Лагранжа – НЕОБХОДИМЫЕ условия
условного экстремума:
Слайд 203
![ПРИМЕР z=x2− y2 x2+y2=1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-202.jpg)
Слайд 204
![В многомерном случае F(x1,x2,…, xn) – целевая функция Уравнения связи gi(x1,x2,…, xn)=0 (i=1,2,…,k), k](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-203.jpg)
В многомерном случае
F(x1,x2,…, xn) – целевая функция
Уравнения связи
gi(x1,x2,…, xn)=0 (i=1,2,…,k), k
Слайд 205
![Φ(x1,x2,…, xn,λ1, λ2,…, λk)= =F(x1,x2,…, xn) + – функция Лагранжа](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-204.jpg)
Φ(x1,x2,…, xn,λ1, λ2,…, λk)=
=F(x1,x2,…, xn) +
– функция Лагранжа
Слайд 206
![Необходимые условия экстремума – уравнения Лагранжа (n+k) уравнений с (n+k) неизвестными](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-205.jpg)
Необходимые условия экстремума – уравнения Лагранжа
(n+k) уравнений с (n+k) неизвестными
Слайд 207
![Двойной интеграл Объем криволинейного цилиндра Функция z=f(x,y)>0 Область D на плоскости Объем цилиндра (простого) мы знаем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-206.jpg)
Двойной интеграл
Объем криволинейного цилиндра
Функция z=f(x,y)>0
Область D на плоскости
Объем цилиндра (простого) мы
знаем
Слайд 208
![Пусть область D прямоугольник [a,b]×[c,d] 4 этапа Разбиение на малые](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-207.jpg)
Пусть область D прямоугольник [a,b]×[c,d]
4 этапа
Разбиение на малые прямоугольники
Выбор точек
Нахождение интегральной
суммы
Переход к пределу
Слайд 209
![1. Выбираем точки a=x0 Δxi=xi−xi−1 (i=1,…,n) Выбираем точки c=y0 Δyj=yj−yj−1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-208.jpg)
1.
Выбираем точки a=x0Δxi=xi−xi−1 (i=1,…,n)
Выбираем точки c=y0Δyj=yj−yj−1 (j=1,…,m)
Разбиение -
прямоугольнички Dij со сторонами Δxi, Δyj
Площадь Sij=ΔxiΔyj
(nm штук)
Слайд 210
![2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ξij,ηij)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-209.jpg)
2. В каждом прямоугольничке – точки
Mij=(ξij,ηij)
Слайд 211
![3. Интегральная сумма Приближение к объему… Диаметр Dij равен](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-210.jpg)
3. Интегральная сумма
Приближение к объему…
Диаметр Dij равен
Слайд 212
![4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 35. Двойным интегралом называется если он существует. Обозначения: Функция называется интегрируемой.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-211.jpg)
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 35. Двойным интегралом называется
если он существует.
Обозначения:
Функция называется
интегрируемой.
Слайд 213
![ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемая функция ограниченная Вопросы: Когда двойной интеграл существует? Если существует, как его вычислять?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-212.jpg)
ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемая функция ограниченная
Вопросы:
Когда двойной интеграл существует?
Если существует, как его вычислять?
Слайд 214
![ТЕОРЕМА 53. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-213.jpg)
ТЕОРЕМА 53. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной
интеграл существует.
Если ограниченная функция непрерывна во всех точках области D кроме точек, расположенных на некоторой спрямляемой кривой (или нескольких спрямляемых кривых), то функция интегрируема.
Слайд 215
![ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СПРЯМЛЯЕМЫМИ КРИВЫМИ Строим прямоугольник Определим функцию](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-214.jpg)
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СПРЯМЛЯЕМЫМИ
КРИВЫМИ
Строим прямоугольник
Определим функцию
Слайд 216
![1. Разбиение области произвольными спрямляемыми кривыми. Получаем подобласти Di с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-215.jpg)
1. Разбиение области произвольными спрямляемыми кривыми. Получаем подобласти Di с площадями
Si (i=1,…,n)
2. Выбираем точки Mi ∈Di
3. Интегральная сумма
Слайд 217
![4. Диаметр области Di diam (Di)=sup{ρ(x,y):x,y∈Di} λ=max{diam (Di)}](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-216.jpg)
4. Диаметр области Di
diam (Di)=sup{ρ(x,y):x,y∈Di}
λ=max{diam (Di)}
Слайд 218
![Замечание. Определения двойного интеграла в старом и новом смысле эквивалентны.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-217.jpg)
Замечание. Определения двойного интеграла в старом и новом смысле эквивалентны.
Слайд 219
![Свойства двойных интегралов 1. Аддитивность Если функция f(x,y) интегрируема по](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-218.jpg)
Свойства двойных интегралов
1. Аддитивность
Если функция f(x,y) интегрируема по области D и
область разбита спрямляемой кривой на две области D1, D2 без общих внутренних точек, то f(x,y) интегрируема по обеим областям D1, D2
Слайд 220
![2. Линейность Здесь f,g – функции α, β – числа](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-219.jpg)
2. Линейность
Здесь f,g – функции
α, β – числа
Слайд 221
![3. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-220.jpg)
3. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией.
Слайд 222
![4. Если f и g – функции, интегрируемые в D и f≤g, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-221.jpg)
4. Если f и g – функции, интегрируемые в D и
f≤g, то
Слайд 223
![5. Если функция f интегрируема в области D, то функция](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-222.jpg)
5. Если функция f интегрируема в области D, то функция |f|
- также интегрируема в области D и
Слайд 224
![6. Если функция f интегрируема в области D, U=sup {f](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-223.jpg)
6. Если функция f интегрируема в области D,
U=sup {f (M ):
M∈D},
V=inf {f (M ): M∈D},
то существует число μ∈[V,U], для которого
S(D) – площадь области
Слайд 225
![7. Если функция f непрерывна в связной области D, то существует точка M∈D, для которой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-224.jpg)
7. Если функция f непрерывна в связной области D, то существует
точка M∈D, для которой
Слайд 226
![ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА На прямоугольнике [a,b]×[c,d] Определим функцию](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-225.jpg)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
На прямоугольнике [a,b]×[c,d]
Определим функцию
Слайд 227
![К доказательству 1. Выбираем точки a=x0 Δxi=xi−xi−1 (i=1,…,n) Выбираем точки c=y0 Δyj=yj−yj−1 (j=1,…,m) Разбиение на прямоугольнички](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-226.jpg)
К доказательству
1.
Выбираем точки a=x0Δxi=xi−xi−1 (i=1,…,n)
Выбираем точки c=y0Δyj=yj−yj−1 (j=1,…,m)
Разбиение
на прямоугольнички
Слайд 228
![2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ξij,ηij) ТЕПЕРЬ Выбираем точки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-227.jpg)
2. В каждом прямоугольничке – точки
Mij=(ξij,ηij)
ТЕПЕРЬ
Выбираем точки ξi∈[xi−1, xi],
ηj∈[yj−1, yj]
Полагаем ξij=ξi, ηij=ηj
Слайд 229
![3.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-228.jpg)
Слайд 230
![4. Сначала устремляем к 0 max{Δyj}](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-229.jpg)
4. Сначала устремляем к 0
max{Δyj}
Слайд 231
![Теперь устремляем к 0 max{Δxi}](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-230.jpg)
Теперь устремляем к 0
max{Δxi}
Слайд 232
![ПРИМЕРЫ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-231.jpg)
Слайд 233
![Вычисление интеграла по произвольной области ТЕОРЕМА 55. Пусть функция f(x,y)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-232.jpg)
Вычисление интеграла по произвольной области
ТЕОРЕМА 55. Пусть функция f(x,y) интегрируема в
области D, ограниченной прямыми x=a, x=b и графиками функций y=g(x), y=h(x) (g(x)≤h(x)).
Если при любом x∈[a, b] существует
Слайд 234
![и существует, то Можно интегрировать в другом порядке!](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-233.jpg)
и существует, то
Можно интегрировать в другом порядке!
Слайд 235
![Пример.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-234.jpg)
Слайд 236
![Можно разбить на части: Кольцо](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-235.jpg)
Можно разбить на части:
Кольцо
Слайд 237
![ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ Отображение (x(u,v), y(u,v)) Взаимно однозначно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-236.jpg)
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ
Отображение
(x(u,v), y(u,v))
Взаимно однозначно отображает область
плоскости
(u,v) на область D плоскости (x,y).
- Функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемые.
Слайд 238
![Матрица Якоби: Якобиан:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-237.jpg)
Слайд 239
![Полагаем, что якобиан всюду отличен от 0. Разбиваем область на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-238.jpg)
Полагаем, что якобиан всюду отличен от 0.
Разбиваем область на прямоугольнички
прямыми u=const,
v=const.
Соответственно область D разбивается на области, близкие к параллелограммам
Слайд 240
![Пусть левый нижний угол прямоугольника (u,v), стороны Δu, Δv. Вершины](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-239.jpg)
Пусть левый нижний угол прямоугольника (u,v), стороны Δu, Δv.
Вершины “почти параллелограмма”
A(x(u,v), y(u,v))
B(x(u+Δu,v), y (u+Δu,v))
C(x(u,v+Δv), y (u,v+Δv))
Слайд 241
![Площадь: Модуль якобиана – коэффициент искажения площади, знак связан с ориентацией](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-240.jpg)
Площадь:
Модуль якобиана – коэффициент искажения площади, знак связан с ориентацией
Слайд 242
![Функция f(x,y) интегрируемая на D. Обозначение: Интегральная сумма Диаметры областей связаны неравенствами](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-241.jpg)
Функция f(x,y) интегрируемая на D.
Обозначение:
Интегральная сумма
Диаметры областей связаны неравенствами
Слайд 243
![Переходя к пределу при max{diam Dij}→0, получаем:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-242.jpg)
Переходя к пределу при max{diam Dij}→0, получаем:
Слайд 244
![Полярные координаты x=r⋅cos ϕ, y=r⋅sin ϕ ПРИМЕР](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-243.jpg)
Полярные координаты
x=r⋅cos ϕ, y=r⋅sin ϕ
ПРИМЕР
Слайд 245
![ПРИМЕР (интеграл Эйлера-Пуассона)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-244.jpg)
ПРИМЕР (интеграл Эйлера-Пуассона)
Слайд 246
![ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ На плоскости xy – область D Поверхность π задана уравнением z(x,y) ((x,y) ∈D)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-245.jpg)
ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
На плоскости xy – область D
Поверхность π задана уравнением
z(x,y) ((x,y) ∈D)
Слайд 247
![Область D разбиваем на части Di с площадями ΔSi (i=1,…,n)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-246.jpg)
Область D разбиваем на части Di с площадями ΔSi (i=1,…,n)
2. Выбираем
точки Pi∈Di
В каждой точке Mi(Pi ,f (Pi)) проводим касательную плоскость к поверхности
Δσi – площадь области на касательной плоскости, проекция которой совпадает с Di.
Слайд 248
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-247.jpg)
Слайд 249
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-248.jpg)
Слайд 250
![3. Находим λ=max{diam (Di )} 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 37. Площадью поверхности π называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-249.jpg)
3. Находим
λ=max{diam (Di )}
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 37. Площадью поверхности π называется
Слайд 251
![Вычисление γi – угол между нормалью к поверхности в точке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-250.jpg)
Вычисление
γi – угол между нормалью к поверхности в точке Mi и
осью z
Δσi = ΔSi /|cos γi|
Вектор нормали: (в точке Pi)
Вектор k= (0,0,1)
Слайд 252
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-251.jpg)
Слайд 253
![ПРИМЕРЫ 1. Площадь сферы x2+y2+z2=R2 2. Площадь части цилиндра x2+y2=a2, которая вырезается цилиндром x2+z2=a2](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-252.jpg)
ПРИМЕРЫ
1. Площадь сферы x2+y2+z2=R2
2. Площадь части цилиндра x2+y2=a2, которая вырезается цилиндром
x2+z2=a2
Слайд 254
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-253.jpg)
Слайд 255
![ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА Вектор-функция скалярного аргумента t Если вектора отложить](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-254.jpg)
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
Вектор-функция скалярного аргумента t
Если вектора отложить от начала координат,
то концы векторов пробегают кривую – годограф вектор-функции.
Слайд 256
![Предел вектор-функции (совпадает с покоординатным) Непрерывность Производная , если не](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-255.jpg)
Предел вектор-функции (совпадает с покоординатным)
Непрерывность
Производная , если не равна 0, направлена
по касательной к годографу.
Слайд 257
![Правила дифференцирования 1. Производная постоянной вектор-функции равна 0. 2. Производная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-256.jpg)
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной вектор-функции равна 0.
2. Производная суммы равна сумме
производных.
3.
(u(t) – скалярная функция)
Слайд 258
![4. (частный случай) 5. 6. 7. Если t=t(τ), то направление касательной не зависит от параметризации](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-257.jpg)
4. (частный случай)
5.
6.
7. Если t=t(τ), то направление
касательной не зависит
от параметризации
Слайд 259
![Если то плоскость, проходящая через точку годографа и параллельная векторам называется соприкасающейся плоскостью к кривой.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/98000/slide-258.jpg)
Если
то плоскость, проходящая через точку годографа и параллельная векторам
называется соприкасающейся плоскостью
к кривой.