Метод мажорант презентация

«majorer» -
объявлять большим
«minorer» -
объявлять меньшим.
Название метода мажорант происходит
от французских слов

Мажорантой
данной функции f(х)
на множестве Р, называется
такое число М, что
либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р,
либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.

Примеры функций, имеющих мажоранту
М
М
М
М
М=-1
М=1
М=
М=
М=0
М= π

Примеры функций, имеющих мажоранту
М
М
(m;n)-вершина
М= n
М= 0

Оценить левую часть: f(x)
Оценить правую часть: g(x)
Если f(x)≥М , при этом g(x)≤M ( или f(x)≤М, , при этом g(x)≥M), составить систему уравнений
f(x)=М,
g(x)= М.
Решить одно из уравнений системы
Выполнить проверку, подставив найденные корни во второе уравнение системы
Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) или неравенства вида
f(x)≥ g(x), f(x)≤g(x) методом мажорант

Решить уравнение:
Решение:
Оценим правую часть уравнения:
Оценим левую часть уравнения:
C одной стороны
с другой стороны
Уравнение
имеет решение, если

Решение системы, а значит и уравнения: х=1.
Ответ:
х=1
Решим первое уравнение системы:

Решить уравнение:
Решение:
ОДЗ:
Оценим левую часть уравнения:
Перемножим два неравенства:
и

Оценим правую часть уравнения:
Складываем двойные неравенства:
Получим:
C одной стороны
с другой стороны
Уравнение
имеет решение, если

Решим второе уравнение системы:
Уравнение имеет решение, если:
Если:
то:
у
х
Ответ:
х=2πn,
n Ɛ Z

Решить неравенство
Решение:
ОДЗ: х ˃ 0
Преобразуем выражение:
Если х ˃0, то
,тогда
для любых х из ОДЗ
Оценим левую часть неравенства:
Для этого введем функцию:
Найдем производную функции:
Найдем критические точки:
+
-
0
1
max

C одной стороны
-наибольшее значение функции
,с другой стороны
Неравенство
имеет решение, если
Решение системы, а значит и неравенства: х=1.
Ответ:
х=1
при х=1-входит в ОДЗ.

Решить неравенство
Решение:
ОДЗ:
Преобразуем неравенство, умножив левую и правую части на
,то
Оценим левую часть неравенства: ˃ 0
Т.к.
˃ 0
Оценим правую часть неравенства:

Решим второе уравнение системы
C одной стороны
с другой стороны
Неравенство
имеет решение, если
Если то
Ответ:
х=3
˃ 0

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение:
Решение:
Заметим, что в силу симметричности корней, если пара (х;у) является решением системы, то и пара (-х;у) тоже решение системы. Единственность решения возможно только, если х=0.

у
х
2
-2
2
-2

Оценим левую часть уравнения:
Оценим правую часть уравнения:
C одной стороны
с другой стороны
Уравнение
имеет решение, если
Решим второе уравнение системы:
Ответ:
а=4

Примеры уравнений и неравенств, решаемых методом мажорант