Методика изучения геометрических величин. Лекция №6 презентация

План
Роль изучения величин в школьном курсе математики. Общее понятие величины.
Понятие геометрической величины.
Требования программы.
Проблема измерения величин.
Виды величин. Аксиоматика.
Этапы изучения.

Математика позволяет изучать и описывать явления окружающего мира.
Количественные модели того или иного процесса являются наиболее адекватными.
Характерным общим понятием всех таких моделей является понятие «величина».
Проблема изучения величин в школе выделена в одну из основных содержательно-методических линий курса геометрии основной школы.
Роль изучения величин в школьном курсе математики

Понятие величины
Понятие величины - одно из важнейших общенаучных понятий.
В физике величины – скорость, сопротивление,
в математике – длина, площадь, объем;
в информатике – объем информации;
в экономике – затраты, выручка, прибыль, себестоимость;
в технике – производительность, расход топлива;
в географии – объем осадков, атмосферное давление;
в химии – молярная масса, молярный объем;
в психологии – коэффициент интеллекта и др.

Понятие величины
В словаре С.И. Ожегова: «Величина то (предмет, явление и т.п.), что можно измерить, исчислить».
А.Н. Крылов писал: «Надо помнить, что есть множество «величин», то есть того, к чему приложены понятия «больше» и «меньше», но величин точно не измеряемых, например ум и глупость; красота и безобразие; храбрость и трусость; находчивость и тупость и т.д.; для измерения этих величин нет единиц, эти величины не могут быть числами».

Понятие величины
Общее понятие величины – непосредственное обобщение конкретных величин.
Интуитивно: величина может быть больше или меньше, две однородные величины могут складываться, величину можно делить на произвольное натуральное число, ее можно измерить (сравнить с другой величиной того же рода, принятой за единицу измерения).
Однако сформулировать ответ на вопрос, что такое величина в математических терминах непросто и в рамках обязательной программы школьное обучение не должно давать ответ на это вопрос.
В обучении имеют дело с конкретными величинами.

Замечание
Позже описательно будут перечислены аксиомы – свойства общего понятия величины и отдельно представлены четыре аксиомы меры величины, которые возникают в связи с измерением величин.

Величина в геометрии
Понятие величины устанавливает взаимосвязи между важнейшими математическими понятиями - числом и фигурой. При этом:
Величина позволяет перейти от качественного описательного к количественному изучению свойств объектов, то есть математизировать знания об изучаемом объекте;
Количественное описание – величина – представляется не только числом, но и обязательно единицей измерения.

Величины в геометрии основной школы
В курсе геометрии основной школы изучаются следующие геометрические величины:
длина отрезка,
величина угла,
длина окружности,
длина дуги,
площади многоугольника и его частных видов (прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции),
площадь круга.

Замечание
В большинстве школьных учебников не делается различия между понятием конкретной величины (например, «длина»)
и ее числовым значением, полученным после измерения.
Поэтому каждое из понятий «длина», «площадь», «объем» определяется как вещественное число, удовлетворяющее аксиомам меры.

Требования программы
Требования к подготовке учащихся, касающейся изучения и измерения величин в основной школе:
Ученик должен владеть практическими навыками использования геометрических инструментов для изображения фигур, а также для нахождения длин отрезков и величин углов;
Решать задачи на вычисление геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства фигур и формулы, приводя аргументацию в ходе решения задачи.

Проблема измерения величин
Два основных вопроса:
1) что такое величина (длина, площадь и др.) - формально-логическая сторона проблемы;
2) с помощью каких инструментов измеряется величина; по какому закону, правилу, формуле вычисляется числовое значение этой величины - прикладная сторона проблемы.
В школе основной упор делается на прикладную сторону; ученики имеют дело с конкретными величинами, иллюстрирующими общее понятие величины. Для профильных специализированных классов важен и формально-логический аспект проблемы.

Виды величин. Аксиоматика
Определенные классы величин (класс скалярных величин, класс векторных величин и др.) имеют чаще всего аксиоматическое определение.
Система скалярных величин задается аксиоматически следующими свойствами: сравнимостью, аддитивностью, упорядоченностью, коммутативностью и ассоциативностью относительно сложения, монотонностью, существованием разности, возможностью измерения.

Замечание
Эти свойства в явном виде не формулируются в школе, но выявляются в ходе решения практических задач непосредственно при работе с моделями либо с числовыми значениями величин.

Аксиомы меры
Свойства величин, которые проявляются в процессе измерения, описываются с помощью аксиом меры:
- нормируемости: существование фигуры с мерой, равной единице;
- неотрицательности: каждой фигуре ставится в соответствие неотрицательное число;
- инвариантности: равные фигуры имеют равные меры;
- аддитивности: мера фигуры, составленной из конечного числа непересекающихся фигур, равна сумме мер этих фигур.
В курсе геометрии основной школы свойства, выражающие математическую сущность аксиом меры, должны быть известны учащимся. Они в явном или неявном виде находят применение при изучении конкретных геометрических величин.

Замечание
В обучении допускается для упрощения языка отождествление меры величины с самой величиной (меры длины с длиной, меры площади с площадью, меры объема с объемом).
Поэтому говорят «длина отрезка – действительное число» вместо «мера длины отрезка…»
В качестве основных этапов изучения величин можно выделить пропедевтический и систематический этапы.

Этапы изучения
Пропедевтический этап - курс математики 1-6-х классов.
Развитие интуитивных представлений о величинах и их практическом измерении: непосредственное измерение длин : непосредственное измерение длин отрезков, взвешивание, определение объема переливанием, температуры, измерение величин углов с помощью транспортира и др.
Таким образом, учащиеся усваивают, что для величин существуют отношения равенства и неравенства, их можно складывать, делить на доли, измерять. То есть на интуитивном уровне отрабатываются свойства величины.

Пропедевтический этап
Шаги формирования представлений учащихся о величинах:
1. Выяснение и уточнение представлений школьника о данной величине (обращение к опыту ребенка).
2. Сравнение однородных величин (визуально, наложением, приложением, путем использования различных мерок).
3. Знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором.
4. Формирование измерительных умений и навыков.

Пропедевтический этап
5. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.
6. Знакомство с новыми единицами измерения величин, перевод однородных величин в другие, выраженные в других единицах измерения.
7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
8. Умножение и деление величин на число.

Пропедевтический этап
Расширение объема геометрических знаний учащихся связано с понятием угла и с задачей измерения величин углов.
Введение понятия угла: его необходимо мыслить сразу неограниченным, величина угла не зависит от «длины сторон» угла.
Учащиеся приходят к мысли о величине угла и специальном инструменте для ее измерения (транспортире).
Терминологическая трудность: специального термина для обозначения величины угла не существует.

Систематический этап
Систематический этап изучения величин относится к курсу геометрии основной школы.
Этап изучения методов косвенного измерения величин.
Требования к учащемуся:
достаточно отчетливое представление о сущности процесса измерения, о тесной связи понятия величины с понятием числа.
Знание факта, что числа в своем историческом развитии возникли в результате двух основных операций: счета предметов и измерения величин.

Сущность процесса измерения
Измерить величину – это значит, сравнить ее с другой, однородной величиной, принятой за единицу измерения.
Этапы процесса измерения величин:
- Из данного рода величин выбирается некоторая величина, которую называют единицей измерения
- Осуществляется процесс измерения – сравнение данной величины с выбранной единицей измерения.
В результате измерения величины находят некоторое число – числовое значение данной величины при выбранной единице измерения.

Отличия
Следует четко различать геометрическую фигуру, величину, относящуюся к фигуре и числовое значение этой величины.

Систематический этап
Развиваются знания и навыки, связанные с прикладной стороной вопроса:
изучаются факты, позволяющие от измерений перейти к вычислению величин с помощью формул;
основное внимание здесь уделяется вычислению по формулам площадей фигур.
Отражение получает и формально-логическая сторона вопроса: изучаются основные свойства длин и площадей - аналоги аксиом меры.

История
Первые единицы длины, как на Руси, так и у других народов древности, были связаны с различными частями тела человека: ширина ладони – 1 ладонь, 7 ладоней – 1 локоть, длина первой фаланги большого пальца руки – 1 дюйм, расстояние между концами пальцев разведенных в стороны рук – маховая сажень, расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки - косая сажень.
- «Локоть» – мера длины, которой купцы пользовались для измерения ткани, египтяне измеряли локтями подъем Нила;
- «ладонями» английские крестьяне измеряли высоту лошадей;
- «дюйм» - голландское название. Эта мера использовалась для измерения небольших предметов (вспомнить сказку Г.Х.Андерсена «Дюймовочка»).

История
Также известны другие единицы измерения: ярд (этой мере длины 900 лет. Она была равна расстоянию от конца носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки). Один ярд равен трем футам, фут – «ступня», равен 12 дюймам и др.
Измерения давали разные результаты, потому что у всех людей разные по размеру руки. Это заметил английский король Эдуард II, который установил «законный дюйм, равный длине трех ячменных зерен, выложенных в ряд». В Россию дюйм пришел в царствование Петра I. Он равен 2см 5мм.

История
У нас сейчас принята система измерений длины, в основе которой лежит метр и его доли – метрическая система. Ее создали французы. В 1792г. Академия наук измеряла длину земного меридиана, проходящего через Париж. В результате огромной работы была найдена длина парижского меридиана в «туазах». Парижская Академия наук предложила принять за единую меру длины новую единицу измерения – «метр», равную одной десятимиллионной доле четверти парижского меридиана. В России первым применил метр как единицу длины Н.И. Лобачевский. Инициаторами введения метрической системы мер как международной были русские ученые и, главным образом, Б.С. Якоби. Обязательной в нашей стране эта система стала после 1918г.

История
В основной школе, после ознакомления с иррациональными числами, рассказ о проблеме соизмеримости величин.
Подобно тому, как единица была общей мерой целых чисел, величины должны иметь общую единицу измерения – быть соизмеримыми, каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее единиц. Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами ни к чему не привела. Решающую роль в этом сыграло открытие пифагорейцами иррационального числа. В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к стороне равно √2; оно не выражалось в виде отношения целых чисел. Сторона и диагональ не имеют общей единицы измерения и называются несоизмеримыми. В связи с открытием несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие бесконечности.