Многоугольники презентация

Многоугольники

Нарисуйте в тетради фигуру, изображённую на экране:
А1
А2
А3
А4
А5
Назовите отрезки, из которых состоит данная фигура.
Их можно разделить на смежные и несмежные.

А1
А2
А3
А4
А5
Смежными называются отрезки, соединяющие соседние вершины фигуры.
Отрезки
смежные
несмежные

Многоугольник-геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон ломаной линией, состоящей из трех и более отрезков
Определение:
А
В
С
D
Е
F
К

А1
А2
А3
А4
А5
Многоугольник А1А2А3А4А5
А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А1 - стороны
Р- сумма сторон многоугольника - периметр
А1,А2,А3,А4,А5- вершины
соседние
несоседние

А1
А2
А3
А4
А5
Многоугольник А1А2А3А4А5
Отрезок, соединяющий две любые несоседние вершины многоугольника, называется диагональю.

А1
А2
А3
А4
А5
Внешняя часть плоскости
Внутренняя часть плоскости
Многоугольником называется фигура, состоящая из отрезков и внутренней области.

Многоугольники
выпуклые
невыпуклые
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любые две соседние вершины.
Многоугольник
называется невыпуклым,
если он лежит по разные
стороны от хотя бы
одной прямой,
проходящей через две
соседние вершины.

Многоугольники
выпуклые
невыпуклые
А
В
С
D
Е
F
К
А
В
С
D
Е
F
К

Нарисуйте четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник.
Проведите в них диагонали, исходящие из одной вершины.
Сколько треугольников образовалось в каждой фигуре?
2
3
4

2
3
4
Чему равна сумма углов в каждом многоугольнике?
2•180°=360°
3•180°=540°
4•180°=720°

А1
А2
А3
Аn-1
Аn
Формула суммы углов выпуклого
n-угольника:
В n-угольнике:
n - сторон
(n-2) - треугольника
Сумма углов в многоугольнике:
Sn=(n-2)•180°
А4
…

Четырёхугольник
А
В
С
D
Вершины:
Стороны:
Углы:
Определение:

Четырёхугольник
А
В
С
D
Определение:
Диагонали:

Четырёхугольник
А
В
С
D
Теорема:
Подсказка
Док-во
+

Задача
Один из углов четырёхугольника в 2 раза меньше второго угла, на 20º меньше третьего и на 40º больше четвёртого. Найдите углы четырёхугольника.
4
3
1
2
Решение

А
B
C
D
AB ⎢⎢CD, AC ⎢⎢BD
Определение
Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом

А
В
С
D
1
2
3
4
КАКИМИ СВОЙСТВАМИ ОБЛАДАЕТ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ?

А
В
С
D
Дано: АВСD - параллелограмм
Доказательство:
Рассмотрим ∆ АВС и ∆ADC, AC - общая,
1 = 2 и 3 = 4
1
2
3
4
АВ = СD, BC = AD
СВОЙСТВО 1. В ПАРАЛЛЕЛОГРАММЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СТОРОНЫ РАВНЫ
И ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ УГЛЫ РАВНЫ.

В
А
С
D
1
3
4
Дано: АВСD - параллелограмм
Доказать: ВО = ОD, АО = ОС
Доказательство:
рассмотрим ∆ АОВ и ∆СОD
Следовательно: АО = ОС, ВО = ОD
O
АВ = СD (противоположные стороны параллелограмма),
2
СВОЙСТВО 2. ДИАГОНАЛИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ТОЧКОЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЕЛЯТСЯ ПОПОЛАМ.

10. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Признаки параллелограмма
Дано: АBCD - четырёхуг.
АВ=СD, АВ || CD.
В
А
С
D
АС – общая сторона
Доказательство:
Построим диагональ АС.
АВ=СD, по условию
Значит, ВС||AD.
Четырехугольник – параллелограмм по определению.
Доказать: АВСD –параллелограмм.

20. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Признаки параллелограмма
Дано: АВ=СD, ВС=АD.
В
А
С
D
АС – общая сторона
Доказательство:
Построим диагональ АС.
АВ=СD, по условию
Значит, АВ||СD.
Четырехугольник – параллелограмм по признаку 10.
Доказать: АВСD –параллелограмм.
ВС=АD, по условию
АВ=СD, по условию.

30. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Дано:
В
А
С
D
Доказательство:
АО=ОС, по условию
Значит, АВ||СD.
Четырехугольник – параллелограмм по признаку 10.
Доказать: АВСD –параллелограмм.
ВО=ОD, по условию
Отсюда, АВ=СD
О