Слайд 2
![План: 1. Плотность распределения и ее свойства. 2. Числовые характеристики НСВ.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-1.jpg)
План:
1. Плотность распределения и ее свойства.
2. Числовые характеристики НСВ.
Слайд 3
![1. Плотность распределения и ее свойства Плотностью распределения вероятностей или](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-2.jpg)
1. Плотность распределения и ее свойства
Плотностью распределения вероятностей или плотностью
распределения f (x) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения F (x)
Слайд 4
![Ее также называют дифференциальной функцией распределения.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-3.jpg)
Ее также называют дифференциальной функцией распределения.
Слайд 5
![Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-4.jpg)
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее
интервалу (a ; b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:
Слайд 6
![Свойства плотности распределения 1) Плотность распределения вероятностей неотрицательная функция 2)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-5.jpg)
Свойства плотности распределения
1) Плотность распределения вероятностей неотрицательная функция
2) Площадь фигуры, ограниченной
кривой распределения и осью абсцисс, равна единице
Слайд 7
![2. Числовые характеристики НСВ Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-6.jpg)
2. Числовые характеристики НСВ
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения
которой принадлежат отрезку от a до b, называют определенный интеграл:
Слайд 8
![Если возможные значения принадлежат всей оси абсцисс, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-7.jpg)
Если возможные значения принадлежат всей оси абсцисс, то
Слайд 9
![Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-8.jpg)
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
Слайд 10
![Если возможные значения принадлежат отрезку , то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-9.jpg)
Если возможные значения принадлежат отрезку , то
Слайд 11
![Если же возможные значения принадлежат всей оси абсцисс, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-10.jpg)
Если же возможные значения принадлежат всей оси абсцисс, то
Слайд 12
![Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-11.jpg)
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется равенством
Слайд 13
![Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-12.jpg)
Замечание 1.
Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохраняются
и для непрерывных величин.
Слайд 14
![Замечание 2. Для вычисления дисперсии НСВ X можно использовать более удобные формулы:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-13.jpg)
Замечание 2.
Для вычисления дисперсии НСВ X можно использовать более удобные
формулы:
Слайд 15
![Пример. Найти плотность распределения и числовые характеристики случайной величины X заданной интегральной функцией распределения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-14.jpg)
Пример. Найти плотность распределения и числовые характеристики случайной величины X заданной
интегральной функцией распределения
Слайд 16
![Решение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-15.jpg)
Слайд 17
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-16.jpg)
Слайд 18
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-17.jpg)
Слайд 19
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-18.jpg)
Слайд 20
![Тема. Основные законы распределения НСВ План: Равномерный закон распределения. Показательный закон распределения. Нормальный закон распределения.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-19.jpg)
Тема. Основные законы распределения НСВ
План:
Равномерный закон распределения.
Показательный закон распределения.
Нормальный закон распределения.
Слайд 21
![При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-20.jpg)
При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями
непрерывных случайных величин.
Слайд 22
![Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-21.jpg)
Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений.
Часто встречаются
законы равномерного, нормального и показательного распределений.
Слайд 23
![1. Равномерный закон распределения Распределение вероятностей называют равномерным, если на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-22.jpg)
1. Равномерный закон распределения
Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому
принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Слайд 24
![НСВ считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-23.jpg)
НСВ считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид
Слайд 25
![Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины находятся по следующим формулам:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-24.jpg)
Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины находятся по следующим формулам:
Слайд 26
![Пример. Случайная величина распределена равномерно в интервале (2;8). Найти ее математическое ожидание и дисперсию. Решение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-25.jpg)
Пример. Случайная величина распределена равномерно в интервале (2;8). Найти ее математическое
ожидание и дисперсию.
Решение.
Слайд 27
![2. Показательный закон распределения Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-26.jpg)
2. Показательный закон распределения
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины
X, которое описывается плотностью
где - постоянная положительная величина.
Слайд 28
![Показательное распределение определяется одним параметром . Эта особенность показательного распределения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-27.jpg)
Показательное распределение определяется одним параметром .
Эта особенность показательного распределения указывает
на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.
Слайд 29
![Найдем функцию распределения показательного закона: Итак,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-28.jpg)
Найдем функцию распределения показательного закона:
Итак,
Слайд 30
![Функция распределения показательного закона имеет вид:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-29.jpg)
Функция распределения показательного закона имеет вид:
Слайд 31
![Графики функций F (x) и f (x) 0 1 0 1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-30.jpg)
Графики функций F (x) и f (x)
0
1
0
1
Слайд 32
![Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины Вероятность](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-31.jpg)
Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
Вероятность попадания
в интервал непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения
вычисляется по формуле
Слайд 33
![Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-32.jpg)
Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону
при
;
при .
Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (0,3 ;1).
Решение. По условию, .
Слайд 34
![Числовые характеристики показательного распределения Числовые характеристики непрерывной случайной величины X](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-33.jpg)
Числовые характеристики показательного распределения
Числовые характеристики непрерывной случайной величины X распределенной
по показательному закону вычисляются по формулам:
Слайд 35
![Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-34.jpg)
Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону
при ;
при .
Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.
Слайд 36
![Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону при](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-35.jpg)
Пример. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону
при ;
при .
Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.
Решение. По условию, . Следовательно,
Слайд 37
![3. Нормальный закон распределения Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-36.jpg)
3. Нормальный закон распределения
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое
описывается плотностью
Слайд 38
![Нормальное распределение определяется двумя параметрами: Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-37.jpg)
Нормальное распределение определяется двумя параметрами:
Достаточно знать эти параметры, чтобы задать
нормальное распределение.
Слайд 39
![Нормальная кривая График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-38.jpg)
Нормальная кривая
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
Слайд 40
![0 x y M(X)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-39.jpg)
Слайд 41
![Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. Изменение величины](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-40.jpg)
Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
Изменение величины параметра
не
изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси абсцисс: вправо, если математическое ожидание возрастает и влево, если оно убывает.
Слайд 42
![С возрастанием среднего квадратического отклонения максимальная ордината нормальной кривой убывает,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-41.jpg)
С возрастанием среднего квадратического отклонения максимальная ордината нормальной кривой убывает, а
сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси абсцисс.
Слайд 43
![При убывании среднего квадратического отклонения нормальная кривая становится более «островершинной»](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-42.jpg)
При убывании среднего квадратического отклонения нормальная кривая становится более «островершинной» и
растягивается в положительном направлении оси ординат.
Слайд 44
![0 x y M(X)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-43.jpg)
Слайд 45
![При математическом ожидании равном нулю и среднем квадратическом отклонении равном единице нормальную кривую называют нормированной.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-44.jpg)
При математическом ожидании равном нулю и среднем квадратическом отклонении равном единице
нормальную кривую называют нормированной.
Слайд 46
![Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Пусть случайная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-45.jpg)
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Пусть случайная величина распределена
по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , равна
Слайд 47
![Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Пусть случайная](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-46.jpg)
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Пусть случайная величина распределена
по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу , равна
Слайд 48
![В результате преобразований и использования функции Лапласа](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-47.jpg)
В результате преобразований и использования функции Лапласа
Слайд 49
![окончательно получим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-48.jpg)
Слайд 50
![Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-49.jpg)
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием
равным 40 и средним квадратическим отклонением 30 . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (20;70).
Слайд 51
![Решение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-50.jpg)
Слайд 52
![Вычисление вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность того, что](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-51.jpg)
Вычисление вероятности заданного отклонения
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально
распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. найти вероятность осуществления неравенства
Слайд 53
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-52.jpg)
Слайд 54
![Пример. Случайная величина распределена нормально Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-53.jpg)
Пример. Случайная величина распределена нормально
Найти вероятность того, что отклонение по
абсолютной величине будет меньше трех.
Слайд 55
![Решение. Используя формулу и данные условия задачи: а также используя таблицу значений функции Лапласа, получим:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-54.jpg)
Решение. Используя формулу
и данные условия задачи:
а также используя таблицу значений
функции Лапласа, получим:
Слайд 56
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-55.jpg)
Слайд 57
![Правило трех сигм Правило трех сигм: Если случайная величина имеет](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/385198/slide-56.jpg)
Правило трех сигм
Правило трех сигм: Если случайная величина имеет нормальный
закон распределения с параметрами
то практически достоверно (вероятность 0,9973), что ее значения заключены в интервале