Окружность. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы презентация

окружность
Мы предлагаем вам самостоятельно изучить
некоторые вопросы по теме ,,Окружность,,
Для продолжения работы выбери
необходимый раздел.
1.Касательная к окружности.
2.Центральные и вписанные углы.
3.Проверь себя.

Взаимное расположение
прямой и окружности
Возможны три случая
Имеют две общие точки ( d
с – секущая по отношению
к окружности
2. Имеют одну общую точку (d=r)
3. Не имеют общих точек (d>r)
r – радиус окружности, d – расстояние от центра окружности до прямой с
с
c
с

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Определение. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется к окружности.
А
А - точка касания
О
р
Это интересно!
касательной

(О свойстве касательной)
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,
проведенному в точку касания.
О
А
р
1.Пусть р ОА, тогда ОА – наклонная к прямой р.
2.Т.к. п/р , проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА,
то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса.
3. Из пп. 1 и 2 прямая и окружность имеют две общие точки, что
противоречит условию ( прямая р – касательная ).
Т.об. р ОА. Ч. и т. д.
ТЕОРЕМА
Дано: окр(О,ОА), р – касательная к окружности,
А – точка касания.
Доказать: р ОА.
Доказательство:

А
С
В
На рисунке точки А, В, С лежат на одной прямой.
.

ЗАПОМНИ!
• В
М
С
Отметим на окружности две точки А и В.
Они разделяют окружность на две дуги.
А и В – концы дуг.
Чтобы различить эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку С и М.
Обозначают дуги: АМВ, АСВ.
А
В
Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.
А
В
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является
С
АМВ = АСВ =180
О
А
В
М
А
О
В
М
АМВ = АОВ, АМВ =360 - АОВ
Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами в точках А и В.
•О
А •
•
О
М
•
О
диаметром окружности.

ВПИСАННЫЙ УГОЛ
В
А
С
О
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Угол, вершина
которого лежит на окружности,
а стороны пересекают окружность, называется углом.
ЗАДАЧА. Сколько на рисунке вписанных углов?
Ответ:
О
4
вписанным
М
На рисунке дуга АМС расположена внутри вписанного угла АВС, т.е. вписанный угол АВС опирается на дугу АВС.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Дано: окр.(О,r), АВС – вписанный (опирается на АС).
Доказать: АВС = АС.
Доказательство:
(рассмотрим случай, когда луч ВО совпадает с одной из
сторон АВС)
1. АОС = АС, т.к. АС меньше полуокружности.
2. АВО – р/б, т.к. АО = ВО = r 1 = 2 (свойство р/б тр -ка).
АОС = 1+ 2 = 2 1,т.к. АОС – внешний угол р/б тр-ка.
Из пп. 1и 3 2 1 = АС, т.е. 1 = АС.
Т. об. АВС = АС.
Ч. и т. д.
1
2
А
В
С
О
ТЕОРЕМА

Возможны еще два случая расположения луча ВО относительно угла АВС.
1) Луч ВО делит угол АВС 2) Луч ВО не делит угол АВС
на два угла. на два угла и не совпадает
со сторонами этого угла.
Дом. зад. Доказательство случая №1 рассмотрите по учебнику,
а случая №2 проведите самостоятельно (п.71)
О
О
В
В
А
С
А
С

По данным рисунков найдите х.
Х
1) 152
80
2) 125
Х
30
215
20
Х
2)
3)
Вы можете себя проверить.
Для этого нажмите ОТВЕТ
•
•
•
х =64
х =175
х = 105

РАССМОТРИМ ВАЖНЫЕ СЛЕДСТВИЯ
Следствие 1.
Вписанные углы,
опирающиеся на одну и ту
же дугу, равны.
Следствие 2.
Вписанный угол,
опирающийся на
полуокружность, - прямой.

Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности?
Как называется прямая, которая имеет с окружностью две общих точки?
Какая прямая называется касательной к окружности?
Какая точка называется точкой касания прямой и окружности?
Сформулируйте теорему о свойстве касательной ( к следующему уроку попробуй выучить доказательство).
Какой угол называется центральным углом окружности?
Какая дуга называется полуокружностью?
Как определяется градусная мера дуги?
Какой угол называется вписанным?
Сформулируйте теорему о вписанном угле( к следующему уроку попробуй разобрать все три случая доказательства).
Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на полуокружность, - прямые.
Проверь себя!
Задать вопрос?
ДА
НЕТ

Предлагаем ответить на вопросы теста по изученной теме
(запомните количество правильных ответов)
1) На рисунке прямая по отношению к окружности
А секущая Б касательная С нет правильного ответа
2) На рисунке угол
А центральный Б вписанный С нет правильного ответа
3) Прямая – касательная по отношению к окружности.
Она образует с радиусом, проведенным в точку касания угол
А острый Б прямой С тупой
4) Дуга АВС равна
А 360°-2<АОС Б 360°- <АОС С 180°+ <АОС
5) Дуга АОС равна 60°. Угол АВС равен
А 60° Б 30° С 15°
6) Угол АВС равен 30°. Угол АDС равен
А 60° Б 30° С нет правильного ответа
7) АВ – диаметр. Угол АОВ равен
А 90° Б 180° С нет правильного ответа
о
А
С
В
В
А
О
В
D
C
А
А
С
В
О
ИТОГ

ПРАВИЛЬНО
Для возвращения к тесту нажми
ОК

ПОДУМАЙ ЕЩЕ
Для возвращения к тесту нажми
ОК

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ