Содержание
- 2. 1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь криволинейной
- 3. Фигура под ломаной состоит из трапеций и ее площадь равна сумме площадей всех трапеций: Причем, площадь
- 4. S
- 5. За искомую площадь под кривой берут предел площади под ломаной при условии, что ломаная неограниченно приближается
- 6. Сумму вида называют интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b] .
- 7. Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек ξi Каждое отдельное слагаемое в интегральной
- 9. Наибольший из отрезков разбиения обозначим как Вся интегральная сумма будет равна
- 10. Если существует конечный предел интегральной суммы при не зависящий от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора
- 11. Функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b]. Числа a и b называются нижним и верхним пределом,
- 12. Неопределенный интеграл есть семейство функций, а определенный интеграл есть определенное число. По определению предполагается, что а
- 13. С учетом этого несущественно, какой предел больше или меньше. Если а = b, то
- 14. Необходимое условие существования определенного интеграла 2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Интегрируемая на отрезке [a,b] функция y=f(x) ограничена
- 15. Достаточное условие существования определенного интеграла Если на отрезке [a,b] функция y=f(x) непрерывна, то она интегрируема на
- 16. Свойства определенного интеграла 1 Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
- 17. Доказательство: Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек Рассмотрим интегральную сумму: Переходим к пределу в
- 18. Следовательно по определению:
- 19. 2 Определенный интеграл от алгебраической суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций.
- 20. 3 Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов по
- 21. Геометрически это означает, что если a
- 22. S S S
- 23. 4 Если на [a,b], где a то
- 24. Доказательство: Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек то для интегральных сумм: Если Переходим к
- 25. Следствие. Пусть на [a,b], где a где m и M некоторые числа. Тогда
- 26. Доказательство: По свойству 4 имеем: По свойству 1 и геометрическому смыслу определенного интеграла:
- 27. 5 Если на [a,b], где a Теорема о среднем что
- 28. Доказательство: По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения справедливо неравенство: Где m и М
- 29. Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями, поэтому
- 30. Пусть Тогда теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка что площадь под кривой y=f(x) на
- 32. Равенство называется формулой среднего значения. называется средним значением функции.
- 34. Скачать презентацию