Полярные координаты. Параметрическая форма кривых презентация

Кривой 2-го порядка на плоскости называют геометрическое место точек M(x;y), удовлетворяющих уравнению F(x;y)=0.
Или
Функция Q называется квадратичной формой
Рассмотрим Q(x1;x2)
Матрица называется матрицей квадратичной формы, где
Диагональная матрица вида , полученная из матрицы А путем преобразования координат, называется канонической формой матрицы А

Вопрос. Как найти эти новые координаты, т.е этот новый базис?
Очевидно, должно выполняться: АХ=λX ⬄ AX-λX=0 ⬄ (A-λΕ)X=0
Определение. Матрица A-λΕ называется характеристической матрицей
Определение. Определитель | A-λΕ | называется характеристическим многочленом от λ.
(A-λΕ)X=0 – система линейных однородных уравнений, из которой и найдем фундаментальную систему решений Х, они-то и будут новым базисом, в котором квадратичная форма примет каноническую форму
Определение. Корни характеристического многочлена | A-λΕ | = 0 называются собственными числами, а ненулевые решения системы (A-λΕ)X=0 называются собственными векторами.

Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0,
F(x,y,z) – многочлен степени 2.
В общем случае :
a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 .
Поверхности второго порядка делятся на
1) вырожденные и 2) невырожденные
Вырожденные - это плоскости, точки и вырожденные (мнимые) поверхности (уравнению не удовлетворяет ни одна точка пространства).
Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.
Эллипсоид,
Гиперболоид (однополосный и двуполостный),
Конус,
Параболоид
Цилиндрическая поверхность

Гиперболический параболоид

Полярная система координат
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Полярная система координат – это точка О (полюс) и ось ρ – полярный луч (совпадает по направлению с осью Ох).
Связь полярной и декартовой системы координат
Декартова сетка
Полярная сетка