Слайд 2
![Простые числа! Простое число – не имеет делителей, кроме себя](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-1.jpg)
Простые числа!
Простое число – не имеет делителей, кроме себя и 1,
и не равно 1:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, …
Слайд 3
![Простые числа! Простое число – не имеет делителей, кроме себя](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-2.jpg)
Простые числа!
Простое число – не имеет делителей, кроме себя и 1,
и не равно 1:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, …
Основная теорема арифметики: каждое натуральное число единственным образом раскладывается в произведение простых.
Слайд 4
![Простые числа!](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-3.jpg)
Слайд 5
![Простых чисел бесконечно много Евклид: предположим, что это не так,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-4.jpg)
Простых чисел бесконечно много
Евклид: предположим, что это не так, и что
всего есть n простых чисел p1, …, pn.
p1·…·pn + 1
Слайд 6
![Простых чисел бесконечно много Евклид: предположим, что это не так,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-5.jpg)
Простых чисел бесконечно много
Евклид: предположим, что это не так, и что
всего есть n простых чисел p1, …, pn.
p1·…·pn + 1
Нет делимости ни на одно из чисел p1, …, pn, т.к. в остатке получается 1.
Вывод: есть еще какие-то простые числа, кроме этих n. Противоречие.
Слайд 7
![Промежутки между соседними простыми 1, 2, 2, 4, 2, 4,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-6.jpg)
Промежутки между соседними простыми
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4,
6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, ...
Слайд 8
![Промежутки между соседними простыми 1, 2, 2, 4, 2, 4,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-7.jpg)
Промежутки между соседними простыми
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4,
6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, ...
Слайд 9
![Проблема простых-близнецов Простые-близнецы – пары простых чисел, отличающихся на 2:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-8.jpg)
Проблема простых-близнецов
Простые-близнецы – пары простых чисел, отличающихся на 2:
3 и 5,
5 и 7, 11 и 13, …, 41 и 43, …, 1’000’000’007 и 1’000’000’009…
Бесконечно ли много таких пар?
Слайд 10
![Проблема простых-близнецов Простые-близнецы – пары простых чисел, отличающихся на 2:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-9.jpg)
Проблема простых-близнецов
Простые-близнецы – пары простых чисел, отличающихся на 2:
3 и 5,
5 и 7, 11 и 13, …, 41 и 43, …, 1’000’000’007 и 1’000’000’009…
Бесконечно ли много таких пар?
Апрель 2013: пар, отличающихся не более чем на 70’000’000, бесконечно много.
Апрель 2014: пар, отличающихся не более чем на 246, бесконечно много.
Слайд 11
![Проблема простых-близнецов Простые-близнецы – пары простых чисел, отличающихся на 2:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-10.jpg)
Проблема простых-близнецов
Простые-близнецы – пары простых чисел, отличающихся на 2:
3 и 5,
5 и 7, 11 и 13, …, 41 и 43, …, 1’000’000’007 и 1’000’000’009…
Бесконечно ли много таких пар? – нерешенная проблема.
Апрель 2013: пар, отличающихся не более чем на 70’000’000, бесконечно много.
Апрель 2014: пар, отличающихся не более чем на 246, бесконечно много.
Слайд 12
![Насколько большими бывают промежутки? Легкое упражнение: промежутки между соседними простыми могут быть сколь угодно большими.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-11.jpg)
Насколько большими бывают промежутки?
Легкое упражнение: промежутки между соседними простыми могут быть
сколь угодно большими.
Слайд 13
![Насколько большими бывают промежутки? Легкое упражнение: промежутки между соседними простыми](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-12.jpg)
Насколько большими бывают промежутки?
Легкое упражнение: промежутки между соседними простыми могут быть
сколь угодно большими.
Обозначение: n! = 1·2 ·3 ·… ·n.
100! + 2
100! + 3
100! + 4 99 подряд идущих непростых чисел.
…
100! + 100
Слайд 14
![Насколько большими бывают промежутки? Легкое упражнение: промежутки между соседними простыми](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-13.jpg)
Насколько большими бывают промежутки?
Легкое упражнение: промежутки между соседними простыми могут быть
сколь угодно большими.
Обозначение: n! = 1·2 ·3 ·… ·n.
100! + 2
100! + 3
100! + 4 99 подряд идущих непростых чисел.
…
100! + 100
Вместо 100 можно было взять 1000000, 1000000000…
Слайд 15
![Постулат Бертрана На отрезке [n; 2n] всегда есть простое число.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-14.jpg)
Постулат Бертрана
На отрезке [n; 2n] всегда есть простое число.
Слайд 16
![Постулат Бертрана На отрезке [n; 2n] всегда есть простое число.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-15.jpg)
Постулат Бертрана
На отрезке [n; 2n] всегда есть простое число.
Первое доказательство: П.Л.Чебышёв,
1850 г.
Самое простое доказательство:
П. Эрдёш, 1932 г. (несколько страниц)
Слайд 17
![Постулат Бертрана На отрезке [n; 2n] всегда есть простое число.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-16.jpg)
Постулат Бертрана
На отрезке [n; 2n] всегда есть простое число.
Вопрос: Насколько малым
можно взять f (n), чтобы
на отрезке [n; n + n·f (n)] всегда было простое число?
Наилучший результат на сегодня: f (n) = n –19/40.
Слайд 18
![Как часто встречаются простые числа?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-17.jpg)
Как часто встречаются простые числа?
Слайд 19
![Как часто встречаются простые числа?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-18.jpg)
Как часто встречаются простые числа?
Слайд 20
![Как часто встречаются простые числа? ln x – натуральный логарифм:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-19.jpg)
Как часто встречаются простые числа?
ln x – натуральный логарифм: степень, в
которую нужно возвести число e, чтобы получить x
ln x = a ⇔ ea = x
e ≈ 2,718281828459045…
Слайд 21
![Как часто встречаются простые числа? П.Л.Чебышёв, 1850 г.: Количество простых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-20.jpg)
Как часто встречаются простые числа?
П.Л.Чебышёв, 1850 г.:
Количество простых чисел на отрезке
[1; n] растет примерно (с точностью до умножения на константу) как
Слайд 22
![Как часто встречаются простые числа? П.Л.Чебышёв, 1850 г.: Количество простых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-21.jpg)
Как часто встречаются простые числа?
П.Л.Чебышёв, 1850 г.:
Количество простых чисел на отрезке
[1; n] растет примерно (с точностью до умножения на константу) как
Адамар, Валле-Пуссен, 1896 г.:
Константа равна 1.
Слайд 23
![Как часто встречаются простые числа? Пример: сколько простых чисел есть среди первых 10100 чисел?](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-22.jpg)
Как часто встречаются простые числа?
Пример: сколько простых чисел есть среди первых
10100 чисел?
Слайд 24
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-23.jpg)
Слайд 25
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-24.jpg)
Слайд 26
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/236132/slide-25.jpg)