Способы решения квадратных уравнений презентация

ЦЕЛЬ УРОКА:
Обобщение и систематизация знаний по теме
«Способы решения квадратных уравнений»

ЗАДАЧИ УРОКА:
отработка способов решения квадратных уравнений;
выработка умения выбирать наиболее рациональный способ решения;
развитие логического мышления, памяти, внимания, умения сравнивать и обобщать;
проверка уровня усвоения темы путем дифференцированного опроса уч-ся;
воспитание навыков контроля и самоконтроля;
подготовка содержательной базы для краевых диагностических работ и успешной сдачи ГИА, ЕГЭ .

Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешал проблем.
( Чосер, английский поэт, средние века.)

Квадратным уравнением называется уравнение вида a x² + b x + c = 0
где х – переменная,
a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0.
a x² + b x + c = 0
Первый коэффициент
Второй коэффициент
Свободный
член

Классификация .
Квадратные уравнения.
неполное
полное
а х² + в х + с = 0
приведённое
x² + p x + q = 0
b = 0;
a x² + c = 0
c = 0;
a x² + b x = 0
b = 0; c = 0;
a x² = 0

Здесь вы видите уравнения, определённые по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?
x² – 9x = 0,
4x² – х – 3 = 0,
16 – x² = 0,
4x² = 0.
x² – 5x + 1 = 0,
x² + 3x – 5 = 0,
2x² – 7x – 4 = 0,
x² + 2x = 1 = 0.
5x² – 2x – 3 = 0,
x² + 2x – 35 = 0,
2x² + 9x – 11 = 0,
x² – 6x + 5 = 0.

«ДИСКРИМИНАНТ» - РАЗЛИЧИТЕЛЬ.
Д = в² - 4 а с
Д > 0
Д = 0
Д < 0
Уравнение имеет
два действительных
корня.
Уравнение имеет
два равных
действительных корня.
Уравнение не имеет
корней.
х1 = (- в- √ Д )/ 2а
х2= (- в + √ Д )/2а
х1,2 = - в / 2а

Самостоятельная работа.
Вариант 1.
3х² – 27 = 0;
2. х² – 5х – 6 = 0;
3. 2х² = 4 – 7х.
Вариант 2.
4. 4х² – 20х = 0;
5. х² – 1 = 8х(х + 1).
Вариант 3.
6. х² –х – 30 = 0;
7. 5х(х – 3) = 3х – 16.
Ш
Т
И
Ф
Е
Л
Ь

Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду
x^2 + bx = c
при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c.
Франсуа Виет (1540 – 1603) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа.
Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.
В XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Франсуа Виет
(1540 – 1603)
Париж

Теорема Виета.
Если х1 и х2 корни приведённого квадратного
уравнения х² + px + q = 0,
то x1 + x2 = - p, а x1 x2 = q.
Обратное утверждение:
Если числа m и n таковы, что m + n = - p, mn = q, то эти числа являются корнями уравнения х² + px + q = 0.
Обобщённая теорема:
Числа х1 и х2 являются корнями приведённого квадратного уравнения х² + px + q = 0 тогда и только тогда, когда x1 + x2 = - p, x1 x2 = q.
Следствие: х²+ px + q = (х – х1)(х – х2)

Ситуации, в которых может
использоваться теорема Виета.
Проверка правильности найденных корней.
Определение знаков корней квадратного уравнения.
Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения.
Составление квадратных уравнений с заданными корнями.
Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Решите следующие задания:
Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения x² – 22x + 105 = 0 ?
Определите знаки корней уравнения x² + 5x – 36 = 0.
Найдите устно корни уравнения x² – 9x + 20 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3.
5. Разложите квадратный трёхчлен x² + 2x – 48 на множители.

Приёмы устного решения квадратных уравнений.
a x² + b x + c = 0.
Обоснование: f (x) = a x ² + b x + c ;
f (1) = a + b + c; f (- 1) = a - b + c.
1.Если a + b + c = 0, то один корень уравнения x = 1, а второй x = c/a.
2.Если a - b + c = 0, то один корень уравнения x = - 1, а второй x = - c/a.

Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:
2x² + 3x + 1 = 0;
5x² – 4x – 9 = 0;
7x² + 2x – 5 = 0;
X² + 17x – 18 = 0;
100x² – 97x – 197 = 0.

Домашнее задание:
1. Решите 9 уравнений своего варианта. Отметьте в координатной плоскости результаты . Решите уравнение
3x² + 2x – 1 = 0 различными способами.

Научился сам - научи другого.
Главный принцип нашей работы:

Домашнее задание.
Вариант 1.
2х² – 16x = 0, (x2 ; x1 ); 5х² – 50x = 0, (x2 ; x1 );
х²– 4x – 32 = 0, (x2 ; x1 );
х²+ 12x + 32 = 0, (x1 ;x2);
х²+ 11x – 26 = 0, (x1 ;x2);
5х² – 40x = 0, (x2 ; x1 );
х²– 11x + 24 = 0, (x2 ; x1 );
4х² – 12x – 40 = 0, (x1 ;x2);
2х² + 13x – 24 = 0, (x1 ;x2).
Вариант 2.
1. 2х² + 16x = 0, (x1 ;x2);
2. х² – 12x + 27 = 0, (x2 ; x1 );
3. 2х² – 6x – 56 = 0, (x2 ; x1 );
4. х² + 9x + 20 = 0, (x1 ;x2);
5. х² + 8x = 0, (x1 ;x2);
6. х² – 14x + 40 = 0, (x1 ;x2);
7. 3х² – 18x + 15 = 0, (x1 ;x2);
8. 4х² – 24x + 32 = 0, (x1 ;x2);
9. х² – 3x + 2,25 = 0, (x1 ;x2);

Проверьте своё настроение !!!