- Главная
- Математика
- Средняя линия трапеции (несколько способов доказательства)
Содержание
- 2. Объект исследования: трапеция, средняя линия трапеции. Цель: показать, что доказательство теоремы о средней линии трапеции с
- 3. А можно ли доказать? Теорема – математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства [3]. Классическая теорема
- 4. Теоретическая часть Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющей середины двух его сторон. Средней линией трапеции называется
- 5. Следствие 2° из аксиомы параллельных. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Теорема о
- 6. Теорема: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 1. Доказательство. 1. Для
- 7. Доказательство. 1. Для доказательства возьмём на основании AD точку Е. Из точки Е через точки М
- 8. Доказательство. 1. На основании BC возьмём произвольную точку Е. Из точки Е через точки М и
- 9. Доказательство. 1. Для доказательства на продолжении основания АD откладываем отрезок DE=BC. Точку В соединяем с точкой
- 10. Доказательство. 1. Для доказательства на продолжении основания ВС отложим A1C=AD, а на AD отложим B1D=BC.Соединим точку
- 11. Доказательство продолжение. 3. Рассмотрим четырёхугольник ABA1В1. BA1= AВ1 (по построению); BA1 || AВ1 (так как BC
- 12. Доказательство. 1. Для доказательства на продолжении основания AD отложим отрезок DE=BC. А также на продолжении средней
- 13. Доказательство. 1. Для доказательства через точку N проведём прямую EK || AB до пересечения этой прямой
- 14. Доказательство продолжение. 4. Рассмотрим четырёхугольники MBEN и AMNK. MB = EN и MB|| EN. Значит по
- 15. Заключение Поставленная цель достигнута. Теорема о средней линии трапеции доказана семью способами с помощью признаков равенства
- 16. Литература Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней школы». М.: Издательство «Просвещение» 2010 г.
- 18. Скачать презентацию
Слайд 2Объект исследования: трапеция, средняя линия трапеции.
Цель: показать, что доказательство теоремы о средней линии
Объект исследования: трапеция, средняя линия трапеции.
Цель: показать, что доказательство теоремы о средней линии
Задачи:
Изучение научной и учебной литературы по заданной теме.
Привести другие способы доказательства теоремы о средней линии трапеции.
При доказательстве этой теоремы показать значение других теорем: признаков равенства треугольников, теоремы о параллельности прямых, теоремы о средней линии треугольника, а также следствие из аксиомы параллельных прямых, и определение средней линии треугольника и средней линии трапеции, признаки и определение параллелограмма.
Методы исследования: применение аналитического и синтетического методов доказательства теорем.
Слайд 3А можно ли доказать?
Теорема – математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства [3].
Классическая
А можно ли доказать?
Теорема – математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства [3].
Классическая
Исходная теорема называется прямой теоремой
Обратная теорема - если в исходной теореме условие сделать заключением, а заключение – условием.
Если верна прямая теорема, то обратная теорема может быть неверной
Взаимно обратные теоремы - если верны прямая и обратная теоремы
Доказательством называется конечная последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из некоторых предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода [3].
Слайд 4Теоретическая часть
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющей середины двух его сторон.
Средней линией трапеции
Теоретическая часть
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющей середины двух его сторон.
Средней линией трапеции
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. вертикальные.
Прямые a и b параллельны, с –секущая.
Пары углов:
называются накрест лежащими.
Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны
Слайд 5Следствие 2° из аксиомы параллельных. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
Следствие 2° из аксиомы параллельных. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Признак параллелограмма 1°. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
Слайд 6Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 1.
Доказательство.
1.
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 1.
Доказательство.
1.
2. Рассмотрим ∆BCN и (как вертикальные) (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и АB секущей CD); CN=ND ( по построению)
3. ∆BCN = ( По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). => BC = и BN = .
4. По построению MB = AM. Значит, средняя линия трапеции MN является средней линией . По теореме о средней линии треугольника MN II => MN II AD, а AD II BC (по определению трапеции), то MN II BC ( следствие 2 из аксиомы параллельных прямых)(Если две прямые параллельны третье прямой, то они параллельны) и отрезок Теорема доказана.
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Слайд 7Доказательство.
1. Для доказательства возьмём на основании AD точку Е. Из точки Е через
Доказательство.
1. Для доказательства возьмём на основании AD точку Е. Из точки Е через
2. Рассмотрим ∆BOM и ∆MAE. AM = MB (по построению); (как вертикальные);
(как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых OP и AD секущей АВ) => ∆BOM = ∆MAE (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам) => OB=AE и OM=ME.
Аналогично доказывается равенство треугольников PNC и DEN => PC = DE; PN = NE.
3. Значит MN также является средней линией треугольника POE. По теореме о средней линии треугольника: MN || OP, а BC || AD (по определению трапеции). => MN || AD ( по следствию 2 из аксиомы параллельных прямых ( если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны). И отрезок MN = OP = (AD+BC).
Теорема доказана.
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 2.
Слайд 8Доказательство.
1. На основании BC возьмём произвольную точку Е. Из точки Е через точки
Доказательство.
1. На основании BC возьмём произвольную точку Е. Из точки Е через точки
2. Рассмотрим ∆МВЕ и ∆АОМ. (как вертикальные); (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и ОР секущей АВ); АМ=МВ (по построению). => ∆МВЕ =∆АОМ (по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) => ВЕ=ОА и ЕМ = ОМ. Аналогично доказывается равенство треугольников СЕN и PND => EN=NP и EC=PD.
3. Значит MN также является средней линией треугольника POE. По теореме о средней линии треугольника MN || OP => MN || AD, а AD || BC (по определению трапеции) => MN || BC (по следствию 2 из аксиомы параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и отрезок
Теорема доказана.
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 3.
Слайд 9Доказательство.
1. Для доказательства на продолжении основания АD откладываем отрезок DE=BC. Точку В соединяем
Доказательство.
1. Для доказательства на продолжении основания АD откладываем отрезок DE=BC. Точку В соединяем
2. Рассмотрим ∆BCN и ∆DNE. BC=DE (по построению); , (как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и АЕ секущими СD и ВЕ соответственно) => ∆BCN = ∆DNE по 2-му признаку равенства треугольников => CN=ND и BN=NE.
3. Рассмотрим ∆АВЕ. Т.к. BN=NE и АМ=МВ, то MN также является средней линией треугольника АВЕ. По теореме о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине) MN || AE, => MN || AD, а AD || BC (по определению трапеции) => MN || BC (следствие 2 из аксиомы параллельных прямых) (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны) и Теорема доказана.
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 4.
Слайд 10Доказательство.
1. Для доказательства на продолжении основания ВС отложим A1C=AD, а на AD отложим
Доказательство.
1. Для доказательства на продолжении основания ВС отложим A1C=AD, а на AD отложим
2. Докажем, что точка M1 является серединой A1В1.Соединим вершину В с В1 и докажем, что BВ1 проходит через точку N. Допустим, что BВ1 проходит через точку N. Рассмотрим ∆ВСN и ∆B1ND. ; (как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BA1 и АВ1 секущими CD и ВВ1 соответственно). ВС= B1D (по построению ). => ∆BCN=∆B1ND (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам). => BN=B1N, CN=ND=> проходит через точку N.
Рассмотрим ∆MBN и ∆M1 B1N. (как вертикальные); ( как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущей ВВ1); BN= В1N( по доказанному) => ∆MBN=∆M1В1N (по второму признаку равенства треугольников) (по стороне и двум прилежащим к ней углам). =>M1 В1 =MB. Так как AM=MB, то M1В1=AM.=> M1 - середина стороны A1В1.
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 5.
Слайд 11Доказательство продолжение.
3. Рассмотрим четырёхугольник ABA1В1. BA1= AВ1 (по построению); BA1 || AВ1 (так
Доказательство продолжение.
3. Рассмотрим четырёхугольник ABA1В1. BA1= AВ1 (по построению); BA1 || AВ1 (так
построению. Значит MN=M1N =>
4. По построению AB || A1В1 => AM || B1M1 и MB || A1M1. Т.к. трапеции ABCD и A1В1DC равны, то => MB=M1B1 и AM=A1M1,а так как АМ=МВ и А1М1= M1B1 (по построению), то АМ=МВ= A1M1=M1B1. Значит четырёхугольники МВA1M1 и АМM1B1 – параллелограммы (по признаку параллелограмма 1° (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм).=> BА1||MM1 и BА1=MM1; MM1=AВ1 и MM1 || AВ1 ( как противоположные стороны параллелограмма). =>MN || BC; BC||AD => MN || AD( по следствию два из аксиомы параллельных прямых (если две прямые параллельны третье прямой, то они параллельны).
5. Т.к. BA1=MM1, то т.е. А т.к. BA1=ВС+СA1, а CA1 =AD (по построению), то
BA1=ВС+AD. Значит Теорема доказана.
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 5.
Слайд 12Доказательство.
1. Для доказательства на продолжении основания AD отложим отрезок DE=BC. А также на
Доказательство.
1. Для доказательства на продолжении основания AD отложим отрезок DE=BC. А также на
2. Т.к. MBCN = KNDE , то КЕ=МВ, МВ=АМ => АМ=КЕ. КЕ||MB => KE||AM. Значит по признаку параллелограмма 1° (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм) четырёхугольник АМКЕ – параллелограмм. => MK=AE и MK||AE (как противоположные стороны параллелограмма) => MN || AD, а AD||BC (по определению трапеции) => MN||BC (по следствию два из аксиомы параллельных прямых)(если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны).
3. Рассмотрим параллелограмм АМКЕ. MN=NK, а так как MK=MN+NK=2MN, то Т.к. MK= AE, то А т.к. AE=AD+DE и DE=BC (по построению), то AE=AD+BC
=> , т.е. Теорема доказана.
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 6.
Слайд 13Доказательство.
1. Для доказательства через точку N проведём прямую EK || AB до пересечения
Доказательство.
1. Для доказательства через точку N проведём прямую EK || AB до пересечения
2. Рассмотрим ∆NEC и ∆NKD; CN=ND (по построению), (как вертикальные);
(как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых BE и AD секущей CD). =>∆NEC=∆NKD (по второму признаку равенства треугольников( по стороне и двум прилежащим к ней углам). => CE=KD и EN=NK.
3. Рассмотрим четырёхугольник ABEK. AB || EK (по построению), BC || AD , => BE||AD (по определению трапеции) => четырёхугольник АВЕК – параллелограмм (по определению параллелограмма).=> AB=EK и AB || EK (как противоположные стороны параллелограмма). И EN=NK (из равенства треугольников NEC и NKD (по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а AM=MB (по построению).
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 7.
Слайд 14Доказательство продолжение.
4. Рассмотрим четырёхугольники MBEN и AMNK. MB = EN и MB|| EN.
Доказательство продолжение.
4. Рассмотрим четырёхугольники MBEN и AMNK. MB = EN и MB|| EN.
5. Т.к. MN= BE, MN=AK , то MN=BC+CE. Сложив эти равенства, получаем: AD=AK + KD ,
а т.к. KD=CE, то AD=AK+CE => 2MN= AD+BC. Теорема доказана.
Дано:
ABCD - трапеция,
MN - средняя линия трапеции.
Доказать: МN II AD; MN II BC;
MN = ( AD + BС)
Теорема: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме. Доказательство № 7.
Слайд 15Заключение
Поставленная цель достигнута. Теорема о средней линии трапеции доказана семью способами с
Заключение
Поставленная цель достигнута. Теорема о средней линии трапеции доказана семью способами с
Слайд 16Литература
Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней школы». М.: Издательство «Просвещение»
Литература
Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней школы». М.: Издательство «Просвещение»
Далингер В.А. «Методика работы над формулировкой и доказательством и закреплением теоремы». Омск. Издательство «ОмИПКРО» 1995 г.
Математическая энциклопедия под редакцией И.М. Виноградова. М.: Изд. Советская Энциклопедия, 1984 г, том 4 и том 5.
Погорелов А.В. «Геометрия 7-11. Учебник для 7-11 классов средней школы». М.: Издательство «Просвещение» 2010 г.
Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/ Глав. ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2000 г.
Якушева Г.М. «Математика. Справочник школьника». М.: Издательство «Слово» 1995 г.
Якушева Г.М. «Решение задач по математике. Справочник школьника». М.: Издательство «Слово». 1996 г.