Типичные законы распределения вероятностей. Нормальное распределение. Показательное распределение. Равномерное распределение презентация

Содержание

Слайд 2

Вопросы темы

Типичные законы распределения вероятностей
Нормальное распределение. Числовые характеристики
Показательное распределение. Числовые характеристики
Равномерное

Вопросы темы Типичные законы распределения вероятностей Нормальное распределение. Числовые характеристики Показательное распределение. Числовые
распределение. Числовые характеристики
Функция надежности. Показательный закон надежности

Слайд 3

Типичные законы распределения вероятностей

Типичные законы распределения вероятностей

Слайд 4

Характеристики дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие

Характеристики дискретной случайной величины Законом распределения дискретной случайной величины X называется соответствие между
между каждым ее возможным значением x1 и вероятностью ее появления p1
Функцией распределения вероятностей дискретной случайной величины X называется функция F(X), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x:
F(x)=P(X

Слайд 5

Свойства функции распределения

F(x) определена при x (-∞; +∞)
0 ≤ F(x) ≤

Свойства функции распределения F(x) определена при x (-∞; +∞) 0 ≤ F(x) ≤
1, причем F(-∞)=0, F(+∞)=1
F(x) – неубывающая функция на (-∞; +∞)
F(x) – непрерывная функция слева в точках x=xk (k=1, 2, …) и непрерывная во всех остальных точках
Для дискретной случайной величины X, заданной таблицей, функция F(x) определяется формулой:

Слайд 6

Характеристики непрерывной случайной величины

Законом распределения непрерывной случайной величины X называется соответствие

Характеристики непрерывной случайной величины Законом распределения непрерывной случайной величины X называется соответствие между
между каждым ее возможным значением x1 и вероятностью ее появления p1
Функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция F(X), равная при каждом xЄR вероятности того, что X в результате испытания примет значение, меньшее x:
F(x)=P(X

Слайд 7

Характеристики непрерывной случайной величины

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется

Характеристики непрерывной случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция
функция f(X), задаваемая равенством:
f(x)=F'(x), xЄR.

Слайд 8

Свойства плотности распределения случайной величины


Свойства плотности распределения случайной величины

Слайд 9

Числовые характеристики случайных величин

Числовые характеристики случайных величин

Слайд 10

Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина

Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Если случайная величина
X задана плотностью распределения f(х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α,β):

Слайд 11

Нормальное распределение. Числовые характеристики

Нормальное распределение. Числовые характеристики

Слайд 12

Определение

Нормальным называется распределение вероятностей таких непрерывных случайных величин, у которых плотность

Определение Нормальным называется распределение вероятностей таких непрерывных случайных величин, у которых плотность распределения
распределения вероятностей задается формулой:
где m, σ – некоторые числа и σ>0.
Функция распределения вероятностей вычисляется по формуле:
где - функция Лапласа

Слайд 13

Числовые характеристики нормального распределения

Числовые характеристики нормального распределения

Слайд 14

Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина

Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Если случайная величина
X задана плотностью распределения f(х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α,β):

Слайд 15

Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Если случайная величина

Пример. Определение вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Если случайная величина
X задана плотностью распределения f(х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α,β):
Для случая нормального распределения
Значения функции Лапласа Ф(X) определяются из таблиц

Слайд 16

Пример.

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое
среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность, того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50)

Слайд 17

Решение

Для решения воспользуемся формулой

Решение Для решения воспользуемся формулой

Слайд 18

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: α =10, β=50, a =

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
30, σ =10.

Слайд 19

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: α =10, β=50, a =

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
30, σ =10.

Слайд 20

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: α =10, β=50, a =

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
30, σ =10.

Слайд 21

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: α =10, β=50, a =

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
30, σ =10.

Слайд 22

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: α =10, β=50, a =

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
30, σ =10.

Слайд 23

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: α =10, β=50, a =

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: α =10, β=50, a = 30, σ =10.
30, σ =10.

Слайд 24

Ответ

Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону, примет

Ответ Вероятность того, что случайная величина X, распределенная по нормальному закону, примет значение,
значение, принадлежащее интервалу (10, 50), ≈0,9544

Слайд 25

Пример. Определение вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально

Пример. Определение вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально
распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ:

Слайд 26

Пример. Определение вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально

Пример. Определение вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально
распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ.
Для нормального закона распределения вероятностей:
Значение функции Лапласа Ф(X) определяется с помощью таблиц

Слайд 27

Пример.

Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое

Пример. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X
отклонение X соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше 3

Слайд 28

Решение

Для решения воспользуемся формулой

Решение Для решения воспользуемся формулой

Слайд 29

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

Слайд 30

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

Слайд 31

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

Слайд 32

Решение

Для решения воспользуемся формулой
По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

Решение Для решения воспользуемся формулой По условию задачи: δ = 3, а=20, σ=10

Слайд 33

Ответ

Вероятность того, что среднее значение случайной величины X, распределенной по нормальному

Ответ Вероятность того, что среднее значение случайной величины X, распределенной по нормальному закону,
закону, может иметь отклонение по абсолютной величине, меньшее 3, составляет 0,2358

Слайд 34

Показательное распределение. Числовые характеристики

Показательное распределение. Числовые характеристики

Слайд 35

Определение

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывных случайных величин, у которых плотность

Определение Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывных случайных величин, у которых плотность распределения
распределения вероятностей задается формулой:
где λ – положительное число.
Функция распределения вероятностей вычисляется по формуле:

Слайд 36

Числовые характеристики показательного распределения

Числовые характеристики показательного распределения

Слайд 37

Пример

Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ =

Пример Написать плотность и функцию распределения показательного закона, если параметр λ = 8
8

Слайд 38

Решение

Плотность распределения вероятности показательного распределения определяется формулой:

Решение Плотность распределения вероятности показательного распределения определяется формулой:

Слайд 39

Решение

Плотность распределения вероятности показательного распределения определяется формулой:
По условию задачи, λ =

Решение Плотность распределения вероятности показательного распределения определяется формулой: По условию задачи, λ =
8, следовательно можно записать:

Слайд 40

Решение

Плотность распределения вероятности показательного распределения определяется формулой:
По условию задачи, λ =

Решение Плотность распределения вероятности показательного распределения определяется формулой: По условию задачи, λ =
8, следовательно можно записать:

Слайд 41

Решение

Функция распределения вероятности показательного распределения определяется формулой:

Решение Функция распределения вероятности показательного распределения определяется формулой:

Слайд 42

Решение

Функция распределения вероятности показательного распределения определяется формулой:
По условию задачи, λ =

Решение Функция распределения вероятности показательного распределения определяется формулой: По условию задачи, λ =
8, следовательно можно записать:

Слайд 43

Решение

Функция распределения вероятности показательного распределения определяется формулой:
По условию задачи, λ =

Решение Функция распределения вероятности показательного распределения определяется формулой: По условию задачи, λ =
8, следовательно можно записать:

Слайд 44

Ответ

Плотность распределения и закон распределения вероятности показательного распределения при λ =

Ответ Плотность распределения и закон распределения вероятности показательного распределения при λ = 8:
8:

Слайд 45

Пример

Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону
f(x) = 2e-2x

Пример Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону f(x) = 2e-2x при
при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.
Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,3; 1).

Слайд 46

Решение

По определению понятия закона распределения вероятности:
P(a

Решение По определению понятия закона распределения вероятности: P(a

Слайд 47

Решение

По определению понятия закона распределения вероятности:
P(a По

Решение По определению понятия закона распределения вероятности: P(a По условию задачи, известна функция
условию задачи, известна функция плотности распределения вероятности:
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.

Слайд 48

Решение

По определению понятия закона распределения вероятности:
P(a По

Решение По определению понятия закона распределения вероятности: P(a По условию задачи, известна функция
условию задачи, известна функция плотности распределения вероятности:
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.
По определению, f(x) = F’(x), следовательно

Слайд 49

Решение

По определению понятия закона распределения вероятности:
P(a По

Решение По определению понятия закона распределения вероятности: P(a По условию задачи, известна функция
условию задачи, известна функция плотности распределения вероятности:
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.
По определению, f(x) = F’(x), следовательно

Слайд 50

Решение

По определению понятия закона распределения вероятности:
P(a По

Решение По определению понятия закона распределения вероятности: P(a По условию задачи, известна функция
условию задачи, известна функция плотности распределения вероятности:
f(x) = 2e-2x при х≥0; f(x) = 0 при х < 0.
По определению, f(x) = F’(x), следовательно

Слайд 51

Решение

Вычислим:
P(a для поставленных условий на значения a

Решение Вычислим: P(a для поставленных условий на значения a и b
и b

Слайд 52

Решение

Вычислим:
P(a для поставленных условий на значения a

Решение Вычислим: P(a для поставленных условий на значения a и b P(0,3
и b
P(0,3

Слайд 53

Решение

Вычислим:
P(a для поставленных условий на значения a

Решение Вычислим: P(a для поставленных условий на значения a и b P(0,3
и b
P(0,3

Слайд 54

Решение

Вычислим:
P(a для поставленных условий на значения a

Решение Вычислим: P(a для поставленных условий на значения a и b P(0,3 0,54881—0,13534 0,41
и b
P(0,3

0,54881—0,13534

0,41

Слайд 55

Ответ

Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,3;

Ответ Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (0,3; 1) составляет ≈0,41.
1) составляет ≈0,41.

Слайд 56

Равномерное распределение. Числовые характеристики

Равномерное распределение. Числовые характеристики

Слайд 57

Определение

Непрерывная случайная величина X, принимающая все свои возможные значения только

Определение Непрерывная случайная величина X, принимающая все свои возможные значения только на отрезке
на отрезке [a, b], называется равномерно распределенной, если ее плотность распределения равна
Функция распределения вероятностей вычисляется по формуле:

Слайд 58

Числовые характеристики равномерного распределения

Числовые характеристики равномерного распределения

Слайд 59

Функция надежности. Показательный закон надежности

Функция надежности. Показательный закон надежности

Слайд 60

Определение

Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента

Определение Функцией надежности R (t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за
за время длительностью t:
R(t) = P(T>t).

Слайд 61

Если функция распределения
F (t) = P(T определяет вероятность отказа за время

Если функция распределения F (t) = P(T определяет вероятность отказа за время длительностью
длительностью t, то вероятность безотказной работы за это же время длительностью Т > t, равна
R(t) = P(T>t) = 1- F(t).

Слайд 62

Определение

Часто длительность времени безотказной работы момента имеет показательное распределение, функция распределения

Определение Часто длительность времени безотказной работы момента имеет показательное распределение, функция распределения которого
которого определяется формулой:
F(t)=1- e -λ·t
Следовательно, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = 1 — F (t) = 1 — (1 - e -λ·t) = e -λ·t

Слайд 63

Пример

Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f(t)=0,01∙e-0,01∙t (t>0), где

Пример Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f(t)=0,01∙e-0,01∙t (t>0), где t
t — время, ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Слайд 64

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t

Слайд 65

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t

Слайд 66

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,01

Слайд 67

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,01
По условию задачи, t = 100

Слайд 68

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,01
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒

Слайд 69

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,001
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒ R(100) = e-0,01∙100 =

Слайд 70

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,001
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒ R(100) = e-0,01∙100 = e-1 =

Слайд 71

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,001
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒ R(100) = e-0,01∙100 = e-1 ≈ 1/2,71828 =

Слайд 72

Решение

В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени

Решение В соответствии с определением, функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной
безотказной работы элемента имеет вид:
R (t) = e -λ·t
По условию задачи, f(t)=0,01∙e-0,01∙t , т.е. λ = 0,001
По условию задачи, t = 100
Следовательно,
R (t) = e -λ·t ⇒ R(100) = e-0,01∙100 = e-1 ≈ 1/2,71828 ≈ 0,37
Имя файла: Типичные-законы-распределения-вероятностей.-Нормальное-распределение.-Показательное-распределение.-Равномерное-распределение.pptx
Количество просмотров: 50
Количество скачиваний: 0