Уравнения первой степени с двумя неизвестными. 7 класс презентация

Фронтальный опрос
повторяем параграф 9 стр. 171-177
1)Какое равенство называют уравнением?
2)Что называют корнем уравнения?
3)Что значит решить уравнение?
4)Сколько корней может иметь уравнение?
5)Какое уравнение называется линейным? Привести примеры линейных уравнений.
6)Как доказать, что данное число является (не является) корнем уравнения?

Ответы:
1. Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным х таков:
Кх + в = 0, (к≠0). Где к и в –данные числа.
Число к называется коэффициентом при неизвестным в этом уравнении,
а число в – свободным членом этого уравнения.
2.Корнем уравнения называется такое число, при подстановке которого в уравнение место х получается верное числовое равенство.
3.Решить уравнение – значит найти все его корни.
4.Если к≠0, то уравнение имеет единственный корень.
Если к=0 и в=0, то уравнение имеет бесконечно много корней.
Если к=0 и в≠0, то уравнение не имеет корней.
5.Линейным уравнением с одним неизвестным х называют уравнение, левая и правая часть которого есть многочлены степени не выше первой относительно х или числа.
Примеры: 5х+7=8; 3х-7 =6 + 3х; 10х – 5 =0; и т.д.
6.Чтобы доказать, что данное число является (не является) корнем уравнения, надо подставить его в уравнение вместо х. Если получится верное числовое равенство, то данное число является корнем уравнения.

Задача о жизни Диофанта.
Диофант провел шестую часть своей жизни в детстве; двенадцатую – в юности; после седьмой части, проведенной в бездетном супружестве, и еще после 5 лет у него родился сын, умерший по достижении половины лет жизни отца; после этого Диофант прожил только 4 года. Сколько лет прожил Диофант?
Ответ: 84 года.

Историческая справка
Диофант Александрийский – он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику.

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?
Уравнение :3x+2y=15.
Задача

Решение задачи:
Пусть х – количество инопланетян, у – количество питомцев.
Тогда у всех питомцев по 2у ног, а у всех инопланетян -3х ног.
Составим уравнение:
3х + 2у = 15.
Заметим, что количество инопланетян и питомцев не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и
у=(15 – 3х)/2должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 15 – 3х без остатка делилось на 2.
Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 1, тогда у = 6 и при х=3, тогда у = 3.
Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев или 3 инопланетянина и 3 питомца.

Определение.
Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида ах+by=c,
в котором a, b, c - заданные числа, причем хотя бы одно из чисел a и b не равно нулю .
Числа a и b называют коэффициентами , а число c - свободным членом.

Какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными :
а) 6х²=36; б)2х-5у=9;
в)7х+3у³=12; г) ½х+⅓у=6,
д) х/5- у/4=3, е) -7x +xy=45
б)2х-5у=9;
г) ½х+⅓у=6,
д) х/5- у/4=3, е) -7x +xy=45

Определение.
Решением уравнения с двумя неизвестными x и y называется упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство.
Если ax+by=c и b‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где х – любое число.
Если ax+0*y=c и a‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где y – любое число.
Если 0*x+by=c и b‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где х – любое число.
Как найти все пары решений линейных уравнений с двумя переменными?

Работа для ума.
(заполнить таблицу по образцу . Сфотографировать и выслать на почту сетевого города)
Найти три пары решений данных уравнений ( шесть вариантов):
x-y=12, 2) x+y=2, 3) x-y=-5,
4) x+y=-6, 5) x-y=-2, 6) x+y=8.

Самостоятельная работа .
I уровень. Составьте уравнение для решения задачи:
«Из 25 роз надо составить букеты по 3 и по 5 роз. Сколько букетов каждого вида получится?» Решите задачу методом подбора.
II уровень. Составьте уравнение для решения задачи:
« В комнате было несколько стульев на четырех ножках и табуреток на трех ножках. После того как их все заняли, оказалось, что ног у сидящих людей вместе с ножками у всех стульев и табуреток 49. Сколько было стульев и табуреток?» Решите задачу методом подбора.

Самопроверка:
I уровень. Уравнение 3x+5y=25.Ответ:5 букетов по 3 розы или 2 букета по 5 роз.
II уровень. Уравнение 4x+ 3y+ 2(x + y)=49 или 6x+5y=49. Ответ:4 стула и 5 табуреток.

Итог урока
в) Как записывается это решение?
(читаем п.10.1 стр.182-184)
б) Что называется решением линейного уравнения с двумя переменными?
а) Какие уравнения называются линейными с двумя переменными?

Домашнее задание
§10.1 читать
№674 (решить в тетрадке, сфотографировать и выслать на почту сетевого города.)

Образец решения №674
Является ли пара чисел (-2;1) решением уравнения 2х – у + 4=0
Чтобы пара чисел (х;у) являлась решением уравнения ах+ву +с=0,
Необходимо чтобы при подстановки чисел х и у в уравнение получилось верное равенство.
(-2;1) => х=-2, у=1 => 2*(-2) – 1 + 4=0
-4- 1 + 4 =0
-1 ≠ 0 => пара чисел (-2;1) не является решением уравнения 2х – у + 4=0