Векторная алгебра презентация

Лекция 4
Векторная алгебра
2. Базис и координаты вектора.
3. Линейные операции над векторами, заданными в
координатной форме.
4. Проекция вектора на ось.
I. Векторы. Линейные операции над векторами.
Линейная зависимость векторов.
5. Скалярное произведение векторов.
6. Векторное произведение векторов.
7. Смешанное произведение векторов.

Вектор – направленный отрезок;
его характеристики – длина и направление.
Базовые определения: нулевой вектор,коллинеарные
векторы; компланарные векторы, равные векторы.
Линейные операции над векторами.
I. Сложение векторов
Геометрическое определение –
правило треугольника и правило
параллелограмма:

2. Умножение вектора на число.

Свойства линейных операций над векторами.
I. Сложение.
II. Умножение вектора на число.

Линейная зависимость (ЛЗ) векторов.
Линейной комбинацией (ЛК) векторов называется
сумма их произведений на произвольные числа:
Если
3.

Базисом множества векторов на плоскости называются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости.
Базисом множества векторов на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой.

Базисом множества векторов в пространстве называются любые три некомпланарных вектора.

Можно использовать такую запись:

Следствие.
Два вектора, заданные в одном и том же базисе

I.Сложение.
то
Доказательство.

II. Умножение вектора на число.
то

называется “величина” направленного отрезка
(длина отрезка со знаком (см. рис.)).

Геометрический смысл декартовых координат

Вывод.
Декартовы координаты вектора совпадают
с его проекциями на соответствующие
координатные оси.
Пусть

-основное тождество.

Вывод.
Декартовы координаты вектора позволяют найти его
длину и направление, то есть все характеристики.

называется число

Алгебраические свойства скалярного произведения.

Геометрические и механические свойства скалярного произведения .
-длина вектора.
-угол между векторами.
-проекция вектора на вектор.
-работа силы …

Формула для вычисления скалярного произведения
векторов, заданных декартовыми координатами.
то

Тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден из конца третьего вектора осуществляющимся против часовой стрелки.

Замечание.
Перестановка местами двух соседних
векторов тройки меняет её ориентацию.
Циклическая перестановка векторов тройки
не меняет её ориентации.

Обозначение.
Пример.

Алгебраические свойства векторного произведения.

Геометрические и механические свойства векторного произведения.
площадь параллелограмма …
критерий коллинеарности
связь линейной и угловой скорости …

Вычисление векторного произведения в декартовых координатах.
то

называется число

- объем параллелепипеда …,
- тройка векторов компланарна,
- тройка левая.
Доказательство.

Следствие.
Необходимым и достаточным условием компланарности
трёх векторов является равенство нулю их смешанного
произведения.
Вычисление смешанного произведения векторов, заданных декартовыми координатами .
то