Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Линии второго порядка презентация

Кривой второго порядка называется линия,
заданная уравнением второй степени
относительно координат x и y: Окружностью радиуса R с центром точке М0
называется множество точек М плоскости таких,
что
O
x
M0 (x0; y0)
M (x; y)
R
у
Окружность
Найдём уравнение окружности.

По условию
Тогда
_
каноническое уравнение окружности.
Если х0=0, у0=0, то получим уравнение
окружности с центром в начале координат:
Дано: М0(x0;y0) – центр окружности,
R – расстояние от центра окружности до любой
её точки M(x;y)
Найти: F(x; y) = 0 – уравнение окружности
Решение
или

Пример. Составить уравнения окружности, если:
а) центром окружности является начало координат, а её радиус равен 4;
б) центром окружности является точка М0(3;-2), а её радиус равен 5;
в) окружность проходит через точку М(3;7), а её центр лежит в точке М0(0;3);
г) точки М1(4;3) и М2(0;7) являются концами одного диаметра.

Эллипсом называется множество точек
плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек F1 и F2
плоскости (фокусов), есть постоянная величина 2a,
причем она больше, чем расстояние 2c между
фокусами:
Эллипс
O
x
y
Правописание…
Пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей поисковых интерент-систем, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».

Найдём зависимость между координатами x и y
точек M таких, что
Запишем расстояние между F1 и M в координатах
Запишем расстояние между F2 и M
в координатах
Раскроем скобки и вынесем, где возможно, за скобки (a2-c2)

>0, так как
a>c
2a>2c,
>0
Сравните
с нулём
эту разность
a2-c2 можно обозначить как b2:
каноническое уравнение эллипса
―

Исследуем форму эллипса по его каноническому
уравнению:
1. Уравнение эллипса содержит х и у
в чётной степени.
Для эллипса осями симметрии являются
оси координат, а центром симметрии –
начало координат.
Как этот факт связывает точки M(x;y), M1(x;-y), M2(-x;y), M3(-x;-y)?
2. Из уравнения эллипса следует, что каждое
слагаемое не больше единицы:
Эллипс расположен внутри прямоугольника,
образованного прямыми x=a, x=-a, y=b, y=-b.
Докажите утверждение, решив неравенства

3. Из уравнения эллипса найдём координаты
точек пересечения эллипса с осями координат:
―
вершины эллипса;
Найдём значения x из уравнения эллипса при y=0, Найдём значения у из уравнения эллипса при х=0.
При a>b отрезок ОА (или ОАʹ) называется
большой полуосью, отрезок ОВ (или ОВʹ) –
малой полуосью, отрезок ААʹ – большой осью,
отрезок ВВʹ – малой осью.
Фокусы эллипса расположены на большой оси.
4. Исследуем эллипс на возрастание или убывание
в I четверти, выразив у из уравнения эллипса.
5. Используя симметрию эллипса, строим его.
При увеличении значения x от 0 до а значение у уменьшается, значит функция в I четверти …

3. Из уравнения эллипса найдём координаты
точек пересечения эллипса с осями координат:
―
вершины эллипса;
Найдём значения x из уравнения эллипса при y=0, Найдём значения у из уравнения эллипса при х=0.
При a>b отрезок ОА (или ОАʹ) называется
большой полуосью, отрезок ОВ (или ОВʹ) –
малой полуосью, отрезок ААʹ – большой осью,
отрезок ВВʹ – малой осью.
Фокусы эллипса расположены на большой оси.
4. Исследуем эллипс на возрастание или убывание
в I четверти, выразив у из уравнения эллипса.
5. Используя симметрию эллипса, строим его.
При увеличении значения x от 0 до а значение у уменьшается, значит функция в I четверти …

O
x
у
F1(-c;0)
F2(c;0)
Отношение половины расстояния между фокусами
к длине большой полуоси называется
эксцентриситетом:
Как эксцентриситет связан с формой эллипса?
Как выглядит эллипс при ε=0?
Сравните три величины: ε, 0, 1
Отрезки, соединяющие любую точку эллипса с его
фокусами, называются фокальными радиусами:
Директрисами эллипса называются прямые:
Соответствующие
директриса и фокус
Фокальный
параметр