Слайд 27. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
7.5. Критерий минимума для субдифференцируемых функций.
Слайд 37.5. Критерий минимума для субдифференцируемых функций.
справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.
Доказательство.
Обратно
Для
выпуклых функций, определенных на выпуклых множествах,
Слайд 4Теорема 6.
такой, что
Необходимость.
Пусть
Слайд 5Тогда существует гиперплоскость
т.е
Слайд 6Отсюда выводим
Тогда из (1) выводим
Слайд 7перепишем в виде
Неравенство (1)
Из правого неравенства в (2) при
получим
Тогда из левого
неравенства в (2) выводим
Слайд 8Из (3) выводим
Полагаем в (3)
Разделим (2)
В результате получим
Тогда
Слайд 9Необходимость
доказана.
Достаточность.
По определению субградиента
тогда
Теорема доказана полностью.
Достаточность доказана.
Слайд 10Замечание.
Как видно из доказательства теоремы
Упражнение.
Решение.
Тогда
Слайд 12Действительно,
Пример 4.
не существует.