Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 5 презентация

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
2.2. Аффинные множества.
2.4. Операции над выпуклыми множествами.
2.3. Размерность множества.

2.2. Аффинные множества.
Определение 2.
справедливо включение
Геометрический смысл данного определения состоит в том,
проходящую через эти точки.
содержит и всю прямую,
Очевидно, что аффинные множества выпуклы.
Теорема 2.
Любой сдвиг аффинного множества является аффинным множеством.
Доказательство.
Теорема доказана.

Определение 3.
Теорема 3.
Доказательство.
Теорема доказана.
Упражнение.

Теорема 4.
Доказательство.
Тогда по теореме 3
В самом деле, пусть
По свойству подпространств

Определение 4.
Дадим геометрическую иллюстрацию полученных результатов.
Теорема 5.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.
Пересечение любого числа аффинных множеств

2.3. Размерность множества.
Определение 5.
Пересечение всех аффинных множеств,
Определение 6.
и вложено в любое другое аффинное множество,

Определение 7.
Согласно принятому определению отрезок
его аффинной оболочкой является прямая

2.4. Операции над выпуклыми множествами.
сохраняющих их выпуклость относятся:
взятия линейной алгебраической комбинации
и линейного преобразования.
Теорема 6.
Любая линейная комбинация конечного числа выпуклых множеств выпукла.
Доказательство.
операции пересечения,

Тогда
Теорема доказана.
Теорема 7.
Тогда
Доказательство.
В условиях теоремы докажем обратное вложение

и формула (1)
Тогда
и теорема доказана.
Определение 8.
называется множество
очевидна.

Теорема 8.
При линейном преобразовании
Доказательство.
Пусть
имеет место включение
Тогда
Пример 5.
Пусть
является непустым компактным выпуклым множеством.

Упражнение 1.
Решение.
Убедиться в его выпуклости