Взаимное пересечение поверхностей. Лекция 8 презентация

Для построения линии пересечения поверхностей используют вспомогательные плоскости (посредники). Их задают так, чтобы они пересекали данные поверхности по наиболее простым линиям.

Далее строят линии пересечения вспомогательных плоскостей с каждой поверхностью и отмечают точки пересечения границ сечений.
Эти точки принадлежат искомой линии сечения.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Пересечение поверхностей может быть полным – «проницание» (при этом образуется две замкнутые линии пересечения); или не полным – «врезка» (образуется одна замкнутая линия пересечения).

Пример: Построить линию пересечения многогранников

Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком призмы, так как боковые грани призмы являются горизонтально- проецирующими плоскостями.

Точки 1, 2, 3, 4 являются точками пересечения ребер пирамиды SA и SB с гранями призмы.

Точки 5 и 6 построены как точки пересечения ребра В призмы с гранями пирамиды. Для этого через вершину пирамиды S задана вспомогательная плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику SMN. Точки 5 и 6 есть результат пересечения линий SM и SN с ребром В. Видимыми отрезками линии пересечения будут те, которые принадлежат видимым граням.

Пример. Построить линию пересечения конуса и цилиндра.

Цилиндр занимает фронтально проецирующее положение, поэтому линия пересечения на фронтальной проекции совпадает с контуром цилиндра.
Построение начинают с определения точек пересечения очерковых линий (точки 1 и 2).

Задают вспомогательную плоскость, которая пересекает конус по окружности, а цилиндр по прямым линиям. Точки пересечения этих линий лежат на линии пересечения поверхностей.
Соединяем полученные точки на горизонтальной проекции.

Некоторые особые случаи пересечения поверхностей вращения

Соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, которые лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Соосными называют поверхности, имеющие общую ось вращения.

Окружность
Окружность
Окружность
Соосные конус
и цилиндр
Соосные
сферы
Соосные конус
и сфера

ТЕОРЕМА МОНЖА
Если две поверхности вращения описаны вокруг общей сферы, то линия пересечения этих поверхностей распадается на две плоские кривые второго порядка (эллипсы).

Сфера
Окружности
Эллипсы
Сфера
Окружности
Эллипсы

90О
90О
Сфера
Окружность
Окружность
Эллипс
Эллипс

Приведены примеры пересечения двух цилиндров
и цилиндра с конусом.
Линией пересечения этих поверхностей являются эллипсы.

Способ вспомогательных концентрических сфер
Способ концентрических сфер применяется если:
Обе данные поверхности - поверхности вращения.
Оси поверхностей должны пересекаться.
Оси их должны быть параллельны одной из плоскостей проекций.

Пример. Построить линию пересечения конуса и цилиндра.

Очерковые линии поверхностей пересекаются в точках 1 и 2.

Определяем центр вспомогательных сфер – точка пересечения осей (точка О).
Дальше проводят две сферы:
- сфера максимального радиуса Rmax проходит через самую удаленную от центра точку пересечения очерков
- сфера минимального радиуса Rmin должна касаться одной поверхности и пересекать другую.

Сфера минимального радиуса пересекает конус по окружности. На фронтальной плоскости эта окружность проецируется как прямая линия.

Сфера минимального радиуса касается цилиндра по окружности.
Эти окружности пересекаются в точках 3 и 4.

Между сферами минимального и максимального радиуса проводим рабочую сферу. Строим линии пересечения рабочей сферы с поверхностями. Это окружности, которые пересекаются в точках 5, 6, 7 и 8.

Проводим линию пересечения поверхностей (соединяем полученные точки).