Задачи, приводящие к понятию производной презентация

К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.
Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

Производная
Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.

Задача 1 (о скорости движения).
По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка).
Закон движения задан формулой s=s (t), где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах).
Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Пусть в некоторый момент времени времени t, точка занимает положение М: OM = x= S(t),
через время Δt, т.е. в момент t + Δt, точка окажется в M1, где
ОM1 = S + ΔS = S(t +Δt).
За время Δt, точка проходит путь
ΔS = S(t + Δt) – S(t).

=x0+∆x
Приращение функции и приращение аргумента
y=f(x)
x0
f(x)=f(x0+∆x)
f(x0)
∆x
∆f
приращение аргумента:
x
y
∆х = х - х0 (1)
Приращение функции :
∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2)
∆f = f(x)-f(x0) (3)
x
В окрестности точки х0 возьмём точку х
Пусть х0- фиксированная точка, f(х0)- значение функци в точке х0
Расстояние между точками х и х0 обозначим ∆х.Оно называется приращением аргумента и равно разности между х и х0:
Первоначальное значение аргумента получило приращение ∆х, и новое значение х равно х0+∆х
Функция f(х) тоже примет новое значение: f(x0+∆x)
Т.е., значение функции изменилось на величину f(x)-f(x0)= f(x0 +∆x)-f(x0),КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆f
Дана функция f(x)

Задача: Определить положение касательной (tgφ)
х
у
0
М0
х0
f(x0)
М
х
f(x)
=x0+∆x
∆x
∆f
=f(x0+∆x)
α
φ
Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0,
приближается к положению касательной
Предельным положением секущей МоМ,
когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная
Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М0 ,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ
Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М0
Через точки М и М0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол α
Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М0.Соответственно будет меняться положение секущей ММ0
При этом координата х точки М будет стремиться к х0
К чему будет стремиться приращение аргумента?
А к какому углу будет стремиться угол α ?

Понятие производной
Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале (a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Нахождение производной называют дифференцированием

Понятие производной
х0
х0+ ∆х
f(x0)
f(x0 + ∆х)
∆х
х
у
0
∆f
у = f(x)

Зафиксировать значение х0, найти f(x0).
Дать аргументу х0 приращение ∆х, перейти в новую точку х0 + ∆х, найти f(x0 + ∆х).
Найти приращение функции: ∆f = f(x0 + ∆х) – f(x0).
Составить отношение .
Вычислить lim .
Этот предел и есть f ′(x0).
Алгоритм нахождения производной

Примеры
1. Найти производную функции y = kx + b в точке хo

Примеры
2. Найти производную функции y = C (C – const) в точке хo

Примеры
3. Найти производную функции y = x2 в точке хo

Примеры

Примеры

Примеры
5. Найти производную функции y = 1/x в точке хo

Таблица производных

Правила нахождения производной
1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем
(u + v)′ = u′ + v′
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С∙u(x) также имеет в этой точке производную, причем
(Сu)′ = С∙u′

Правила нахождения производной
3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем
(u ∙ v)′ = u′∙v + u∙v′
4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем

Правила нахождения производной
5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем

Слайд №
Сложная функция:
Примеры:
Производная сложной функции
Правило нахождения производной сложной функции
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)

Слайд №
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция:
Правило нахождения производной сложной функции
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Пример:

Слайд №
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция:
Правило нахождения производной сложной функции
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Пример:

Слайд №
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Сложная функция:
Правило нахождения производной сложной функции
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Пример:

Слайд №
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Слайд №
Вычислите производные:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Закрепление изученного материала.