Слайд 2
![Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-1.jpg)
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке,
если для всех x из этого промежутка выполняется равенство F '(x) = f(x).
Нахождение первообразной – интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования.
Слайд 3
![К недостаткам методов приближенного интегрирования относится требование дифференцируемости подынтегральных функций](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-2.jpg)
К недостаткам методов приближенного интегрирования относится требование дифференцируемости подынтегральных функций до
порядка, который требуется при разложении функций в ряд Тейлора. От этого недостатка свободны методы численного интегрирования, в которых подынтегральная функция удовлетворяет только условию непрерывности (для существования определённого интеграла).
В численных методах интегрирования не используется нахождение первообразной. Основу алгоритма численных методов интегрирования составляет геометрический смысл определенного интеграла. Интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, расположенной под подынтегральной кривой f(x) на участке [a,b] (рис.10.1).
Слайд 4
![Рис. 10.1. Геометрический смысл определенного интеграла Суть всех численных методов](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-3.jpg)
Рис. 10.1. Геометрический смысл определенного интеграла
Суть всех численных методов интегрирования состоит
в приближенном вычислении указанной площади. Поэтому все численные методы являются приближенными.
При вычислении интеграла подынтегральная функция f(x) аппроксимируется интерполяционным многочленом
, то есть , где -априорная погрешность метода или остаточный член на интервале интегрирования, а r(x) – априорная погрешность метода на отдельном шаге интегрирования.
Слайд 5
![На практике, чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-4.jpg)
На практике, чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, весь
участок [a,b] делят на части и интерполяционные многочлены строят для каждой части деления.
Обзор методов интегрирования
Методы вычисления однократных интегралов называются квадратурными, а формулы для приближенного вычисления интегралов - квадратурными формулами или квадратурными суммами. (для кратных интегралов – кубатурными).
Методы Ньютона-Котеса. Здесь φ(x) – полином различных степеней. Сюда относятся метод прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Слайд 6
![2. Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло). Здесь узлы сетки для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-5.jpg)
2. Методы статистических испытаний (методы Монте-Карло). Здесь узлы сетки для квадратурного
или кубатурного интегрирования выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. В основном применяются для вычисления кратных интегралов.
3. Сплайновые методы. Здесь φ(x) – кусочный полином с условиями связи между отдельными полиномами посредством системы коэффициентов.
Методы наивысшей алгебраической точности. Обеспечивают оптимальную расстановку узлов сетки интегрирования и выбор весовых коэффициентов ρ(x) в задаче
Сюда относятся метод Гаусса-Кристоффеля (вычисление несобственных интегралов) и метод Маркова.
Слайд 7
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-6.jpg)
Слайд 8
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-7.jpg)
Слайд 9
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-8.jpg)
Слайд 10
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-9.jpg)
Слайд 11
![Алгоритм метода прямоугольников с автоматическим выбором шага: Весь участок [a,b]](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-10.jpg)
Алгоритм метода прямоугольников с автоматическим выбором шага:
Весь участок [a,b] делим на
n равных частей с шагом
h=(b-a)/n.
Определяем значение yi подынтегральной функции f(x) в каждой части деления
В каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем интерполяционным многочленом степени n = 0, т.е. прямой, параллельной оси OX. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] аппроксимируется ломаной линией.
Для каждой части деления определяем площадь Si частичного прямоугольника.
Суммируем эти площади. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей частичных прямоугольников.
Слайд 12
![Алгоритм вычисления интеграла построим в виде итерационного процесса поиска с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-11.jpg)
Алгоритм вычисления интеграла построим в виде итерационного процесса поиска с автоматическим
выбором шага. На каждом шаге будем уменьшать шаг h в два раза, то есть увеличивать число шагов n в два раза. Выход из процесса поиска организуем по точности вычисления интеграла. Начальное число шагов n=2.Схема алгоритма методов прямоугольников представлена на рис.
Условные обозначения:
a,b – концы интервала, ε- заданная точность, с=0 - метод левых прямоугольников, с=1 - метод правых прямоугольников, S1 - значение интеграла на предыдущем шаге, S - значение интеграла на текущем шаге.
Слайд 13
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-12.jpg)
Слайд 14
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-13.jpg)
Слайд 15
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-14.jpg)
Слайд 16
![Для всего отрезка [a,b] необходимо сложить выражение для одного интервала](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-15.jpg)
Для всего отрезка [a,b] необходимо сложить выражение для одного интервала n
раз:
(3)
(3)
ri
(4)
f ̕ ̕ (xi)
f ̕ ̕(xi)
f ̕ ̕(xi)
x
Слайд 17
![(4) (5)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-16.jpg)
Слайд 18
![Алгоритм метода трапеций с автоматическим выбором шага: Интервал [a,b] делим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-17.jpg)
Алгоритм метода трапеций с автоматическим выбором шага:
Интервал [a,b] делим на
n равных частей с шагом
h=(b-a)/n.
Вычисляем значение подынтегральной функции в каждой узловой точке
На каждом шаге подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем прямой, соединяющей две соседние узловые точки. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] заменяется ломаной линией проходящей через все узловые точки.
Вычисляем площадь каждой частичной трапеции.
Приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций.
Слайд 19
![Рис. Схема алгоритма метода трапеций (с автоматическим выбором шага)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-18.jpg)
Рис. Схема алгоритма метода трапеций
(с автоматическим выбором шага)
Слайд 20
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-19.jpg)
Слайд 21
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-20.jpg)
Слайд 22
![(6)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-21.jpg)
Слайд 23
![(6) (7) f IV (xi) x](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-22.jpg)
Слайд 24
![(x) (x) (x) (x) x (8)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-23.jpg)
Слайд 25
![(9) (8) (7) (7) (8) (8) (9) ур.(9)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-24.jpg)
(9)
(8)
(7)
(7)
(8)
(8)
(9)
ур.(9)
Слайд 26
![Рис. Схема алгоритма Симпсона (с автомати-ческим выбором шага), где N2 - количество частей деления.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-25.jpg)
Рис. Схема алгоритма Симпсона (с автомати-ческим выбором шага), где N2 -
количество частей деления.
Слайд 27
![(10) (10) (11) (11)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-26.jpg)
Слайд 28
![(12) (12) (12) (11) (13) (13)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-27.jpg)
(12)
(12)
(12)
(11)
(13)
(13)
Слайд 29
![Использование полиномов высоких степеней в квадратурных формулах Ньютона-Котеса сопряжено со](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-28.jpg)
Использование полиномов высоких степеней в квадратурных формулах Ньютона-Котеса сопряжено со значительными
вычислительными трудностями. Поэтому на практике поступают так: разбивают промежуток интегрирования на достаточно большое число маленьких отрезков и к каждому из них применяют квадратурную формулу Ньютона-Котеса с небольшим числом ординат. В результате получаются не сложные формулы и расчёты по ним дают достаточно высокую точность. Известны также квадратурные формулы Чебышёва и Гаусса.
Ошибка в выборе величины шага интегрирования либо не обеспечит нужной точности, либо приведёт к необоснованным затратам машинного времени. Можно использовать такую стратегию: сначала задаются довольно большим шагом интегрирования, затем последовательно его дробят до тех пор, пока различие между двумя последующими значениями интегралов, рассчитанными при различном шаге, не станет незначительным.
Слайд 30
![(5) :](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-29.jpg)
Слайд 31
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-30.jpg)
Слайд 32
![(3)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-31.jpg)
Слайд 33
![(9) :](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-32.jpg)
Слайд 34
![(7)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-33.jpg)
Слайд 35
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-34.jpg)
Слайд 36
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-35.jpg)
Слайд 37
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-36.jpg)
Слайд 38
![(14)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-37.jpg)
Слайд 39
![Численное интегрирование в MATLAB](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-38.jpg)
Численное интегрирование в MATLAB
Слайд 40
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-39.jpg)
Слайд 41
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-40.jpg)
Слайд 42
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-41.jpg)
Слайд 43
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-42.jpg)
Слайд 44
![Δ x](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-43.jpg)
Слайд 45
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-44.jpg)
Слайд 46
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-45.jpg)
Слайд 47
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-46.jpg)
Слайд 48
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-47.jpg)
Слайд 49
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-48.jpg)
Слайд 50
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-49.jpg)
Слайд 51
![Вычислительный алгоритм метода Симпсона реализован функцией quad:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-50.jpg)
Вычислительный алгоритм метода Симпсона реализован функцией quad:
Слайд 52
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-51.jpg)
Слайд 53
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-52.jpg)
Слайд 54
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-53.jpg)
Слайд 55
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-54.jpg)
Слайд 56
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-55.jpg)
Слайд 57
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-56.jpg)
Слайд 58
![Символьные вычисления неопределенных интегралов в MATLAB осуществляется при помощи функции:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-57.jpg)
Символьные вычисления неопределенных интегралов в MATLAB осуществляется при помощи функции:
int(fun,
var),
где fun – символьное выражение, представляющее собой подынтегральную функцию, а var – переменная интегрирования.
Пример 1. Вычисление неопределенного интеграла:
syms x %Определение символьной переменной
f=sym('exp(x) -x'); %Определение символьной функции
int(f,x) %Вычисление неопределенного интеграла
Результатом будет:
ans =
exp(x)-1/2*x^2
Для того чтобы вычислить определенный интеграл, можно использовать функцию:
int(fun, var, a, b),
где fun –подынтегральная функция, а var – переменная интегрирования, a, b – пределы интегрирования.
Слайд 59
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-58.jpg)
Слайд 60
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-59.jpg)
Слайд 61
![Пример 2. Вычисление определенного интеграла: I1=int('exp(x)-x','x',-1,0); %Символьное решение vpa(I1,5) %Численное](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-60.jpg)
Пример 2. Вычисление определенного интеграла:
I1=int('exp(x)-x','x',-1,0); %Символьное решение
vpa(I1,5) %Численное решение с
5 значащими цифрами
Результатом будет: I1 = -exp(-1)+3/2
ans =
1.1321
Пример 3.
В М-файле с именем Simpson.m пишем:
function y=G(x)
y=exp(x)-x;
end
Потом в командном окне вызываем функцию quad:
format long %Формат вывода значений
quad('Simpson',-1,0,1.0e-05)
Результатом будет:
ans =
1.13212056020538
Слайд 62
![Итак, функция int вычисляет:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-61.jpg)
Итак, функция int вычисляет:
Слайд 63
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-62.jpg)
Слайд 64
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-63.jpg)
Слайд 65
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/229873/slide-64.jpg)