Числовые последовательности презентация

Способы задания последовательности:
1. Словесный.
Пример: последовательность четных чисел.
2. Аналитический (задана формула n – го члена).
Пример:
3. Рекуррентный (задано правило).
Пример: №1. арифметическая прогрессия
геометрическая прогрессия
Последовательность Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи: n-й член последовательности
равен сумме двух предшествующих ему членов
№1.
№2.
№2.
№3.

Свойства числовых последовательностей.
1°. Ограниченность сверху.
Последовательность (уn) ограниченна сверху, если
существует такое число М, что для любого
выполняется неравенство
(М – верхняя граница последовательности)
2°. Ограниченность снизу.
Последовательность (уn) ограниченна снизу, если
существует такое число m, что для любого
выполняется неравенство
(m – нижняя граница последовательности)
Последовательность если ограниченна и сверху и снизу, то
её называют
ограниченной последовательностью

3°. Возрастание.
Последовательность (уn) возрастающая, если
каждый её член(кроме первого) больше
предыдущего.
4°. Убывание.
Последовательность (уn) убывающая, если
каждый её член(кроме первого) меньше
предыдущего.
М
О
Н
О
Т
О
Н
Н
Ы
Е

Определение.
Число b называют пределом последовательности (уn), если
в любой заранее выбранной окрестности точки b
содержатся все члены последовательности, начиная
с некоторого номера.
Обозначение:
или

Свойства сходящихся последовательностей.
1. Если последовательность сходится, то только к
одному пределу.
1. Если последовательность сходится, то только к
одному пределу.
2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
3. (Теорема Вейерштрасса)
Если последовательность монотонна и ограничена, то
она сходится.

Предел функции.
Предел функции в точке.

Приращение аргумента.
Пусть функция у = f(х) определена в точках х0 и х1.
Разность х1 – х0 называют приращением аргумента.
Обозначение: Δх (дельта х)
Приращение функции.
Разность f(х1) – f(х0) называют приращением функции.
Обозначение: Δf или Δ у
Δх = х1 – х0
Δу = f(x1) – f(x0), где х1=х0 + Δх

Понятие непрерывности функции.
Функция у = f(х) непрерывна в точке х = а, если
в этой точке выполняется следующее условие:
если Δх→0, то Δ у → 0.

Определение производной.
Пусть функция у = f(х) определена в точке х
и в некоторой её окрестности.
Предел отношения приращения функции
к приращению аргумента при
Δх стремящемся к нулю
называют производной функции в точке х.

Алгоритм нахождения производной для функции у = f(х).
Зафиксировать значение х, найти f(х).
Дать аргументу х приращение Δх, перейти в новую точку х + Δх,
найти f(х + Δх).
3. Найти приращение функции: Δу = f(х + Δх) – f(х).
4. Составить отношение
5. Вычислить
6. Получим:

Пример нахождения производной функции у = 2х + 3.
Фиксируем х=х0, имеем: f(х0 )=2х0 + 3.
В точке х0 + Δх имеем:
f(х0+Δх)= 2(х0+Δх) + 3.
3. Δу =f(х0 + Δх) – f(х0)=
= 2(х0 + Δх)+3 – 2х0 – 3 = 2(Δх).
5.
6. f´(х) = (2х +3)´ = 2
4.