Дискретна математика. Декартів добуток множин презентация

Зміст
1. Потужність скінченої множини.
2. Упорядковані множини.
3. Декартів добуток множин.

Для інтерпритації множин і операцій над ними використовуються геометричні фігури – кола Эйлера (діаграми Венна).

Потужність множин
Потужність скінченної множини А визначається як кількість елементів, що належать множині А.
Можна позначати n(A) або |A|.

Нехай А, В – скінчені множини, що не перетинаються, тобто А∩В=∅
Тоді n(А∪В)=n(A)+n(B).
A
B

Це твердження вірне для довільної кількості множин, що не перетинаються.
Нехай Аі (і=1,2,3,…,n) – скінчені множини, що не перетинаються. Тоді
n(А1 ∪А2 ∪… ∪Аn)=∑n(Ai),

Нехай А, В –довільні скінчені множини, тоді n(А∪В)=n(A)+n(B) – n(A∩B).

Упорядковані множини
Усяку множину можна упорядкувати, якщо кожному елементу ії поставити у відповідність деяке натуральне число від 1 до n. Таке число буде номером елемента.
Визначення: Упорядкованою множиною чи кортежем називається послідовність елементів множини, у якій кожен елемент займає визначене місце, елементи кортежу називаються його компонентами.
Довжиною кортежу називають кількість
його координат.

Декартів добуток множин
Визначення: Декартовим добутком множин А і В називається множина АхВ, що складається з всіх упорядкованих пар, перший компонент яких належить множині А, а другий компонент належить множині В.
АхВ={
∈AхВ| а∈А, b∈B}
Приклад: А={а, c}; Β={1, 2}; ΑхВ={<а, 1>, <а,2>, <с, 1>,
}.
Очевидно, що якщо ⏐Α⏐=n, а ⏐Β⏐=m,
то ⏐ΑхВ⏐=n⋅m

Два кортежі (вектори) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні відповідні їх координати,
тобто аі=bi, i=1, 2, …,n.
Отже кортежі <а, b, c> і
різні, а множини {а, b, c} і {a, c, b} рівні між собою.

Декартовий добуток має
такі властивості:
АхВ≠ВхА
Ах(ВхС)≠(АхВ)хС≠АхВхС
(А∪В)хС=(АхС)∪(ВхС)
(А∩В)хС=(АхС)∩(ВхС)
(А\В)хС=(АхС)\(ВхС)
АхАх ... хА=Аn
Ах∅=∅хА=∅

Домашнє завдання
Приклад: Задано А={0, 2, 3}; В={а, b}; Знайти декартовий добуток ΑхВ = ?
ВxA= ?