Слайд 2
![Всякую неправильную рациональную дробь можно,путем деления числителя на знаменатель представить](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-1.jpg)
Всякую неправильную рациональную дробь
можно,путем деления числителя на знаменатель представить в
виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби т.е.
Например
Делим числитель на знаменатель в столбик.
Получим частное и остаток .
Следовательно
Слайд 3
![Правильные рациональные дроби вида: 1) 2) (корни комплексные,т.е. ) (k](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-2.jpg)
Правильные рациональные дроби вида:
1)
2)
(корни комплексные,т.е. )
(k >2,корни знаменателя комплексные),
Где
А,а,М,N,р,q-действительные числа,называются простейшими рациональными дробями 1,2,3 и 4 типов.
Слайд 4
![Теорема: Всякую правильную рациональную дробь Знаменатель которой разложен на множители](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-3.jpg)
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь
Знаменатель которой разложен на множители
можно представить (и
притом единственным образом ) в виде следующей суммы простейших дробей:
(*)
где некоторые действительные коэффициенты.
Слайд 5
![Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: 1) 2) 3) Для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-4.jpg)
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
1)
2)
3)
Для нахождения неопределённых коэффициентов
Можно применить
метод сравнивания коэффициентов.
Суть метода такова:
Слайд 6
![В правой части равенства(*)приведем к общему знаменателю ;в результате получим](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-5.jpg)
В правой части равенства(*)приведем к общему знаменателю ;в результате получим тождество
гдеS(x)-многочлен с
неопределёнными коэффициентами.
2)Так как в полученном тождестве знаменатели равны ,то тождественно равны и числители, т.е.
3)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях тождества, получим систему линейных уравнений ,из которой и определим искомые коэффициенты
Слайд 7
![Пример: Представить дробь В виде суммы простейших дробей. Решение: Согласно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-6.jpg)
Пример: Представить дробь
В виде суммы простейших дробей.
Решение: Согласно теореме имеем:
Отсюда следует
Приравнивая
коэффициенты при получаем
Слайд 8
![Решаем систему, находим, что Для нахождения неопределённых коэффициентов применяют также](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-7.jpg)
Решаем систему, находим, что
Для нахождения неопределённых коэффициентов применяют также метод отдельных
значений аргумента
после получения тождества(**) аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределённых коэффициентов(обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена
Слайд 9
![Найдём интегралы от простейших рациональных дробей. 1) (формула (2) таблицы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-8.jpg)
Найдём интегралы от простейших рациональных дробей.
1)
(формула (2) таблицы интегралов)
2)
(формула (1))
Выделяем
в знаменателе полный .
квадрат, делаем замену и подстановку в числителе.
Слайд 10
![Пример: Найти Решение:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-9.jpg)
Слайд 11
![Интегрирование рациональных дробей Сформулируем общее правило интегрирования рациональных дробей: 1).Если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-10.jpg)
Интегрирование рациональных дробей
Сформулируем общее правило интегрирования рациональных дробей:
1).Если дробь
неправильная, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби;
2)Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители , представить её в виде суммы простейших рациональных дробей;
3)Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Слайд 12
![Пример:Найти интеграл Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим её](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-11.jpg)
Пример:Найти интеграл
Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим её целую часть
путём деления числителя на знаменатель. Получаем:
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
Слайд 13
![Отсюда следует,что Находим : Таким образом получаем ,что: Найдем искомый](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-12.jpg)
Отсюда следует,что
Находим :
Таким образом получаем ,что:
Найдем искомый интеграл, преобразуя подынтегральную дробно-рациональную
функцию, представляя её в виде полученной суммы.
Слайд 14
![НАЙДЁМ ИНТЕРГАЛ:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-13.jpg)
Слайд 15
![Следовательно, Отметим,что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-14.jpg)
Следовательно,
Отметим,что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
Слайд 16
![Пример:Вычислить Решение: Преобразуем знаменатель дроби Выделим целую часть в дроби](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-15.jpg)
Пример:Вычислить
Решение: Преобразуем знаменатель дроби
Выделим целую часть в дроби (поделим многочлен, стоящий
в числителе на многочлен знаменателя)
Поэтому
Дробь
Слайд 17
![Умножая обе части равенства на(х-3)(х-4),получаем Решая систему с двумя неизвестными находим значения А=-32;В=70. Дробь А](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-16.jpg)
Умножая обе части равенства на(х-3)(х-4),получаем
Решая систему с двумя неизвестными находим значения
А=-32;В=70.
Дробь
А
Слайд 18
![Пример: Вычислить Решение: Так как А корни трёхчлена комплексны, то дробь запишем в виде](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-17.jpg)
Пример: Вычислить
Решение: Так как
А корни трёхчлена комплексны, то дробь запишем в
виде
Слайд 19
![Откуда вычитая из(2)-(3) получим: Таким образом имеем: Тогда:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-18.jpg)
Откуда вычитая из(2)-(3) получим:
Таким образом имеем:
Тогда:
Слайд 20
![Решим отдельно второй интеграл т.к. первый табличный №2: Пусть 1) 2)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/113554/slide-19.jpg)
Решим отдельно второй интеграл т.к. первый табличный №2:
Пусть 1)
2)