Использование преобразований тригонометрических выражений при решении заданий ЕГЭ презентация

Задание 10
Найдите sin x, если cos x = 0,6 и ∏<Х<2∏
Найдите tg x , если sin x = 0,8 и ∏/2<Х<2∏

Известные формулы:
основные тригонометрические тождества;
формулы двойного аргумента;
синус, косинус, тангенс, котангенс суммы и разности двух углов;
формулы понижения степени;
формулы преобразования тригонометрических сумм в произведение.

Свойства тригонометрических функций:
чётность;
периодичность;
ограниченность.

Реши устно:
1. sin x = ∏/3
2 cos x = √3
3. tg ∏/4 + tg x = 2
1 - tg ∏/4 + tg x
4. √2 cos2 7x - cos 7x = 0
5. 3 cos2x - sin2x - 2 sin x cos x = 0

Способы решения уравнений:
разложение на множители;
использование тригонометрических формул;
замена переменной;
однородное уравнение, делением на синус или косинус.

Определи способы решения уравнения:
1. (2sin x - cos x) (1+cos x)=sin2x
2. 2 cos 2x + cos x = 1
3. 4 cos4x – 3 cos 2x – 1 = 0
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу
(-7∏/2;-2∏)

Тест

Решение 1 варианта

Решение 2 варианта

Работа с тестами из интернета
ЕГЭ 2015 по математике;
случайные вопросы;
режим тренировки;
С1 а;
С1 б.

Решите уравнение
2 cos2x − 7cos(π/2+x) + 2 = 0
1 ±π/6+2πn, n∈Z
2 π/6+2πn, n∈Z; 5π/6+2πk, k∈Z
3 −π/6+2πn, n∈Z; −5π/6+2πk, k∈Z
4 −π/3+2πn, n∈Z; −2π/3+2πk, k∈Z
Пример 2

Преобразуем выражение cos(π/2+x) по формуле косинуса суммы (или формуле приведения). Получится cos(π/2+x) = −sinx.
Уравнение примет вид 2cos2x +7sinx + 2 = 0
Это уравнение может быть сведено к функции sinx с помощью основного тригонометрического тождества:
2(1−sin2x) +7sinx +2 =0;
2−2sin2x +7sinx +2 = 0;
−2sin2x +7sinx +4 = 0.
Сделаем замену переменной sinx = t, при этом t∈[−1,1]. Получим квадратное уравнение
−2t 2+7t+4=0
t1 = −1/2, t 2 =4. Корень t2 не удовлетворяет условию t ∈[−1,1].
Вернемся к переменной x при t = −1/2:
sin x = −1/2;
x= −π/6+2πn, n∈Z или x= −5π/6+2πk, k∈Z.
Ответ: x = −π/6+2πn, n∈Z;
x = −5π/6+2πk, k∈Z.

Найдите корни уравнения 2 cos2x − 7cos(π/2+x) + 2 = 0
принадлежащие промежутку [0;11π/6)
1 5π/6
2 7π/6
3 π/3
4 0; π

Составим и решим двойное неравенство для корней первой серии x = −π/6+2πn:
0<−π/6+2πn <11π/6 ∣:π;
0<−16+2n <11/6 ∣⋅6;
0<−1+12n <11 ∣+1;
1< 12n <12;
1/12< n <1.
Вспомним, что n – это целое число. Но в полученном промежутке нет целых чисел, значит, первая серия корней не содержит корней с заданным условием.

Запишем неравенство для другой серии корней x = −5π/6+2πn
0<−5π/ 6+2πn <11π/ 6 ∣:π;
0<−5/6+2n <11/6 ∣⋅6;
0<−5+12n <11 ∣+5;
5<12n <16;
5/12
В этом промежутке имеется единственное целое число n=1. Найдем соответствующее значение переменной:
х = −5π/ 6+2π⋅1= −5π/ 6+12π = 7π/ 6.
Ответ: x=7π/ 6.

Из истории
Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.
Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( trigonan – треугольник, metreo - измеряю).
Возникновение тригонометрии было тесно связано с землемерием, астрономией и строительным делом.…

Использование тригонометрических функций в астрономии
Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.
Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии.

Использование тригонометрических функций в медицине
Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.
Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Использование тригонометрических функций в биологии
Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.
При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать…
Для некоторых профессий знание тригонометрии необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников.
Принципы тригонометрии, используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография…

Тригонометрические
уравнения

Отметить точки: