Слайд 2
![9.2.1. Критерий А.Н. Колмогорова Критерий А.Н. Колмогорова применяется для проверки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-1.jpg)
9.2.1. Критерий А.Н. Колмогорова
Критерий А.Н. Колмогорова применяется для проверки простой гипотезы
Н0 о том, что независимые одинаково распределенные случайные величины Х1, Х2, …, Хп имеют заданную непрерывную функцию распределения F(x).
Слайд 3
![Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации случайной выборки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-2.jpg)
Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации случайной выборки независимых
измерений. Для решения этой задачи введем статистику Т(Xn) критерия проверки гипотезы Н. Реализация t статистики Т соответствующая выборке хn определяется по формуле
Слайд 4
![Доказано, что (H – истинна)⇒(T=D). Здесь D – случайная величина,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-3.jpg)
Доказано, что (H – истинна)⇒(T=D). Здесь
D – случайная величина, распределенная
по известному закону Колмогорова. Для этой величины можно найти tα из условия:
P(D≥tα)= α, (*)
где α - вероятность практически невозможного события, и следовательно, событие (D≥tα) - практически невозможное.
С точностью до принципа практической уверенности имеем:
Слайд 5
![(Н – истинна)⇒(t (t≥tα)⇒(H – ложна). Из этих соотношений следует,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-4.jpg)
(Н – истинна)⇒(t(t≥tα)⇒(H – ложна).
Из этих соотношений следует, что
неравенство (tРуководствуясь этими соображениями, принимают следующее правило решения поставленной задачи:
(t(t≥tα)⇒(Н – отклонить).
Слайд 6
![Это правило называют критерием согласия Колмогорова проверки гипотезы о непрерывной](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-5.jpg)
Это правило называют критерием согласия Колмогорова проверки гипотезы о непрерывной функции
распределения случайной величины.
Алгоритм:
1) Провести независимые n-кратные измерения СВ Х с непрерывной функцией распределения и получить выборку хn;
2) Исключить из выборки грубые ошибки;
Слайд 7
![3) Построить реализацию F*(x) статистической ФР; 4) Выдвинуть гипотезу F(x)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-6.jpg)
3) Построить реализацию F*(x) статистической ФР;
4) Выдвинуть гипотезу F(x) о
ФР СВ Х;
5) Вычислить параметр t.
6) Задать вероятность α практически невозможного события и из таблицы распределения Колмогорова найти параметр tα как решение уравнения (*).
7) Принять или отклонить гипотезу
Н=(Х∈F(x)) по решающему правилу.
Доказано, что критерий А.Н. Колмогорова состоятельный и в общем случае смещенный.
Слайд 8
![Он более чувствителен к различию гипотез, поэтому при прочих равных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-7.jpg)
Он более чувствителен к различию гипотез, поэтому при прочих равных условиях
может применяться для меньших объемов выборки. Поскольку результат проверки признака критерия t зависит от наибольших различий F(x) и F*(x), то нет необходимости построения F(x) и F*(x) на всем диапазоне изменения х; достаточно ограничиться областями наибольших различий F(x) и F*(x).
Слайд 9
![Недостатком критерия является то, что точность его выводов нарушается, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-8.jpg)
Недостатком критерия является то, что точность его выводов нарушается, если в
формулировании гипотезы о F(x) используются характеристики эмпирических распределений, т.к. в этом случае статистика Т зависит от F(x); неудобство доставляет также значительная трудоемкость построения статистики Колмогорова А.Н.
Слайд 10
![9.2.2. Критерий Пирсона Критерий Пирсона (критерий χ2) используется для проверки](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-9.jpg)
9.2.2. Критерий Пирсона
Критерий Пирсона (критерий χ2) используется для проверки гипотезы о
различных законах распределения с применением статистики:
Слайд 11
![Здесь Nj – число Xi в разряде статистического ряда, q](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-10.jpg)
Здесь Nj – число Xi в разряде статистического ряда, q –
число разрядов.
Решающее правило состоит в следующем: если pj удовлетворяет неравенству
то гипотеза Н отвергается, в противном случае Н принимается.
Слайд 12
![Алгоритм: по выборке хn , освобожденной от ошибок, строим статистический](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-11.jpg)
Алгоритм:
по выборке хn , освобожденной от ошибок, строим статистический ряд,
предварительно задав число разрядов q и установив границы разрядов;
задав гипотезу о функции распределения или плотности распределения, определяем гипотетические вероятности разрядов
;
Слайд 13
![3) вычисляем реализацию t=T(xn) статистики Т(Xn); 4) задавая уровень значимости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-12.jpg)
3) вычисляем реализацию t=T(xn) статистики Т(Xn);
4) задавая уровень значимости α,
при помощи табл. χ2 – распределения находим tα;
5) применяем решающее правило, если (t≥tα), то Н отклоняем, в противном случае Н принимаем.
Достоинства:
относительная простота;
возможность применения для векторной Х;
состоятельность;
Слайд 14
![возможность применения оценок параметров при формулировании гипотезы Н без потерь](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-13.jpg)
возможность применения оценок параметров при формулировании гипотезы Н без потерь точности
выводов;
несмещенность при pj=const;
пониженная требовательность к точности xi.
Недостатки:
потери информации за счет предвари-тельного группирования данных по разрядам;
неопределенность в выборе q и границ разрядов;
Слайд 15
![неучет знака разности Nj – npj .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-14.jpg)
неучет знака разности Nj – npj .
Слайд 16
![9.2.2.1. Проверка гипотезы о нормальном распределении Пусть получена выборка достаточно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-15.jpg)
9.2.2.1. Проверка гипотезы о нормальном распределении
Пусть получена выборка достаточно большого объема
п с большим количеством различных значений вариант. Для удобства ее обработки, разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на q равных частей.
Слайд 17
![Будем считать, что значения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-16.jpg)
Будем считать, что значения вариант,
попавших в каждый интервал, приближенно
равны числу, задающему
середину
интервала. Подсчитав число вариант,
попавших в каждый интервал, составим так
называемую сгруппированную выборку:
варианты………..х1 х2 … хs
частоты………….n1 n2 … ns ,
где хi – значения середин интервалов, а ni – число вариант, попавших в i-й интервал (эмпирические частоты).
Слайд 18
![По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-17.jpg)
По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое
отклонение σВ. Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами M(X) = , D(X) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п, которое должно оказаться в каждом интервале при этом предположении (то есть теоретические частоты).
Слайд 19
![Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-18.jpg)
Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания в
i-й интервал:
,
где аi и bi - границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки n, найдем теоретические частоты: ni =n·pi.
Слайд 20
![Наша цель – сравнить эмпирические и теоретические частоты, которые, конечно,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-19.jpg)
Наша цель – сравнить эмпирические и
теоретические частоты, которые, конечно,
отличаются друг от
друга, и выяснить, являются ли
эти различия несущественными, не
опровергающими гипотезу о нормальном
распределении исследуемой случайной величины,
или они настолько велики, что противоречат этой
гипотезе.
Для этого используется критерий в виде
случайной величины
Слайд 21
![Вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-20.jpg)
Вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупности закон распределения случайной
величины при стремится к закону распределения с числом степеней свободы k = q – 1 – r, где r – число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = q – 3.
Слайд 22
![Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием где](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-21.jpg)
Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием
где α –
уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством
а область принятия гипотезы – .
Слайд 23
![Итак, для проверки нулевой гипотезы Н0: генеральная совокупность распределена нормально](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/269596/slide-22.jpg)
Итак, для проверки нулевой гипотезы Н0: генеральная совокупность распределена нормально –
нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия:
(*)
а по таблице критических точек распределения χ2 найти критическую точку , используя известные значения α и k = q – 3. Если
– нулевую гипотезу принимают,
при ее отвергают.