Линейная алгебра презентация

Определители 2 порядка
Определители широко применяются во многих разделах высшей математики, в теоретической механике, физике и т.д. для сокращения записей и удобства вычислений.
Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде:
ai j
из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали.

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Центральная задача линейной алгебры - это решение систем линейных уравнений.
Решение данной системы - это пара чисел х1 и х2, которая при подстановке обращает оба этих уравнения в тождества.
Свободные члены уравнения
Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n равно числу уравнений n.
Пусть n = 2:
ai j - коэффициенты при неизвестных.
Номер уравнения
Номер неизвестного,

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Обозначим:

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Аналогично получим:
обозначив:
Система уравнений будет иметь вид:
Если , то решение системы находится по формулам:

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Решить систему методом Крамера:
Вычислим главный и вспомогательные определители системы:
Найдем решение системы по формулам Крамера:

Определители n – ого порядка
Определителем n – ого порядка называется число:
Методы вычисления определителей n – ого порядка рассмотрим на примере вычисления определителей третьего порядка.

Методы вычисления определителей
1
Метод треугольника
+
_
Метод треугольника применим только для определителей 3 порядка

Методы вычисления определителей
2
Метод разложения определителя по элементам строки (столбца)
Определитель второго порядка, который получается из определителя 3 - го порядка путем вычеркивания i - й строки и j - го столбца, т.е. строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ai j называется минором элемента и обозначается Mi j
Алгебраическим дополнением элемента ai j называется

Методы вычисления определителей
Величина определителя равна сумме произведений элементов какой – либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения:
Разложение определителя по элементам i – ой строки
Разложение определителя по элементам j – ого столбца

Методы вычисления определителей
3
Использование свойств определителя
Свойства определителя:
Величина определителя:
равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки равны нулю:
равна нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны

Методы вычисления определителей
меняет знак, если поменять местами строки (столбцы):
увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца (строки) увеличить в k раз:
не меняется при замене строк соответствующими столбцами:

Методы вычисления определителей
не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель
Если определитель имеет так называемый треугольный вид, то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на главной диагонали:

Методы вычисления определителей
Выберем 1 столбец и превратим второй и третий элементы в нули
К элементам 2 строки прибавим элементы 1 строки, умноженные на (-2)
К элементам 3 строки прибавим элементы 1 строки
Разложим определитель по элементам 1 столбца
Также, используя свойства, можно привести определитель к треугольному виду и вычислить по последнему свойству.

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными
Рассмотрим общую квадратную систему линейных уравнений:
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.
Система называется однородной, если
Однородная система совместна, так как всегда имеет нулевое решение.

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными
Для сокращения выкладок запишем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Вспомогательные определители получаются из главного определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом свободных членов: