Слайд 2
![Учебные вопросы 1. Введение в теорию ДУ: задачи, приводящие к](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-1.jpg)
Учебные вопросы
1. Введение в теорию ДУ:
задачи, приводящие к понятию дифференциального
уравнения.
2.Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение). 3.Дифференциальные уравнения первого порядка.
Слайд 3
![4. Частное и общее решения, интегральные кривые, поле направлений. 5. Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-2.jpg)
4. Частное и общее решения, интегральные кривые, поле направлений.
5. Интегрирование
уравнений с разделяющимися переменными.
Слайд 4
![Литература [2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-3.jpg)
Литература
[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс,
2005. с. 13-90;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004. с. 446-490.
Слайд 5
![1.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Задача 1. На плоскости](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-4.jpg)
1.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.
Задача 1.
На плоскости XOY
найти кривую, которая в каждой своей точке имеет касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.
Решение.
Пусть уравнение искомой кривой y=f(x).
Слайд 6
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-5.jpg)
Слайд 7
![Угловой коэффициент касательной МТ есть tgα, он равен производной от](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-6.jpg)
Угловой коэффициент касательной МТ есть tgα, он равен производной от y
по x, так что
С другой стороны, по условию задачи имеем
.
Приравнивая значения tg α, получим
Слайд 8
![Решением дифференциального уравнения является любая первообразная для функции 2x. Например, решением будет .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-7.jpg)
Решением дифференциального уравнения является любая первообразная для функции 2x. Например,
решением
будет .
Слайд 9
![Все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального уравнения задаются формулой .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-8.jpg)
Все первообразные для функции 2x и, следовательно, все решения дифференциального
уравнения задаются формулой
.
Слайд 10
![Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-9.jpg)
Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Слайд 11
![Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0),](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-10.jpg)
Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0), через
которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую.
Слайд 12
![Для этого достаточно заменить в уравнении координаты x и y координатами точки M0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-11.jpg)
Для этого достаточно заменить в уравнении координаты x и y координатами
точки M0
Слайд 13
![Отсюда имеем и Таким образом, искомой кривой будет парабола.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-12.jpg)
Отсюда имеем и
Таким образом, искомой кривой будет парабола.
Слайд 14
![Задача 2. Допустим, что в каждый момент времени t известна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-13.jpg)
Задача 2.
Допустим, что в каждый момент времени t известна скорость v(t)
точки, движущейся по оси OX, где v(t) - функция, непрерывная на (a,b).
Слайд 15
![Кроме того, известно значение х0 положения точки в определенный момент](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-14.jpg)
Кроме того, известно значение х0 положения точки в определенный момент времени
t0 . Требуется найти закон движения точки.
Слайд 16
![Решение. Положение точки определяется одной координатой х и задача состоит](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-15.jpg)
Решение.
Положение точки определяется одной координатой х и задача состоит в том,
чтобы выразить х как функцию от t . Принимая во внимание механический смысл первой производной, мы получим равенство
Слайд 17
![Как известно из интегрального исчисления](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-16.jpg)
Как известно из интегрального исчисления
Слайд 18
![Так как в формулу входит произвольная постоянная C, то мы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-17.jpg)
Так как в формулу входит произвольная постоянная C, то мы ещё
не получили определённого закона движения точки.
Слайд 19
![Поскольку движущаяся точка принимает положение х0 в заданный момент времени t0, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-18.jpg)
Поскольку движущаяся точка принимает положение х0 в заданный момент времени t0,
то
Слайд 20
![Итак, закон движения точки имеет вид .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-19.jpg)
Итак, закон движения точки имеет вид
.
Слайд 21
![Учебный вопрос. Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение).](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-20.jpg)
Учебный вопрос.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение).
Слайд 22
![ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-21.jpg)
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется
выражение вида:
где х – независимая переменная;
у(х) – неизвестная функция;
– производные искомой функции.
Слайд 23
![Определение. Порядком n дифферен-циального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Например,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-22.jpg)
Определение. Порядком n дифферен-циального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в
это уравнение.
Например,
Слайд 24
![Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция у=φ(х), которая при подстановке](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-23.jpg)
Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция у=φ(х), которая при подстановке в
уравнение обращает его в верное равенство.
Слайд 25
![Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-24.jpg)
Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Процесс
нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.
Слайд 26
![Определение. Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном виде , называется интегралом дифференциального уравнения.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-25.jpg)
Определение. Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном виде
,
называется
интегралом дифференциального уравнения.
Слайд 27
![Учебный вопрос. Дифференциальные уравнения первого порядка.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-26.jpg)
Учебный вопрос.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Слайд 28
![Дифференциальные уравнения первого порядка. Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-27.jpg)
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее
независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную: ,
где
Слайд 29
![Если уравнение разрешить относительно производной , то получим уравнение нормального вида:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-28.jpg)
Если уравнение разрешить относительно производной , то получим
уравнение нормального
вида:
Слайд 30
![Учебный вопрос. ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-29.jpg)
Учебный вопрос.
ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ
Слайд 31
![ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ Определение. Решение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-30.jpg)
ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ
Определение. Решение у=φ(х,С),
которое зависит от независимой переменной х и произвольной постоянной, называется общим решением ДУ первого порядка.
Слайд 32
![Решение у=φ(х), полученное из общего при фиксированном значении произвольной постоянной, называется частным решением ДУ первого порядка.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-31.jpg)
Решение у=φ(х), полученное из общего при фиксированном значении произвольной постоянной, называется
частным решением ДУ первого порядка.
Слайд 33
![Задача Коши для уравнения состоит в том, чтобы найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-32.jpg)
Задача Коши для уравнения
состоит в том, чтобы найти частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальному условию
Слайд 34
![Уравнение в каждой точке M (x , y) области, где](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-33.jpg)
Уравнение
в каждой точке
M (x , y) области, где
определено его решение у=φ(х ,С ),
задаёт направление касательной к интегральной кривой. В итоге мы получаем целое поле направлений.
Слайд 35
![Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M(x,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-34.jpg)
Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M(x, y)
черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого равен
Слайд 36
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-35.jpg)
Слайд 37
![ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Определение. ДУ первого порядка называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-36.jpg)
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Определение. ДУ первого порядка называется уравнением
с разделенными переменными, если его можно представить в виде
Слайд 38
![Решение этого уравнения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-37.jpg)
Слайд 39
![Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-38.jpg)
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Слайд 40
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-39.jpg)
Слайд 41
![Определение. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-40.jpg)
Определение. Уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Слайд 42
![В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-41.jpg)
В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на
произведение
. Тогда получим
- это уравнение с разделенными переменными.
Слайд 43
![Общим интегралом будет](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-42.jpg)
Слайд 44
![ЗАМЕЧАНИЕ Мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-43.jpg)
ЗАМЕЧАНИЕ
Мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение R(x)Q(y),
а именно Q(y)=0, отсюда yk= ak ,где ak – const.
Слайд 45
![Если решения yk= ak получаются из общего при подходящем выборе](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-44.jpg)
Если решения yk= ak получаются из общего при подходящем выборе С,
то такие решения будут частными, если же подобрать нужное С невозможно, то они называются особыми решения.
Слайд 46
![Пример. Найти общий интеграл и частное решение уравнения удовлетворяющее условию . Решение. Делим на , тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-45.jpg)
Пример.
Найти общий интеграл и частное решение уравнения
удовлетворяющее условию .
Решение.
Делим
на ,
тогда
Слайд 47
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-46.jpg)
Слайд 48
![-общий интеграл. Подставим начальное условие и найдем С: .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-47.jpg)
-общий интеграл.
Подставим начальное условие и найдем С:
.
Слайд 49
![Частное решение Особое решение так как](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-48.jpg)
Частное решение
Особое решение
так как
Слайд 50
![Учебные вопросы 6. Однородные и линейные уравнения 1 порядка. 7.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-49.jpg)
Учебные вопросы
6. Однородные и линейные уравнения 1 порядка.
7. Уравнения Бернулли
1-го порядка.
8. Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.
Слайд 51
![Учебный вопрос. Однородные и линейные уравнения 1 порядка.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-50.jpg)
Учебный вопрос.
Однородные и линейные уравнения 1 порядка.
Слайд 52
![Однородные уравнения 1-го порядка. Определение. Дифференциальеное уравнение 1 порядка называется](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-51.jpg)
Однородные уравнения 1-го порядка.
Определение. Дифференциальеное уравнение 1 порядка называется однородным
ДУ-1, если f(x,y) может быть представлена как функция отношения своих аргументов,
т.е. или
f(λx,λy)=f(x,y), где λ – const.
Слайд 53
![1) Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-52.jpg)
1) Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными
с
помощью следующей замены: , т.е.
у=zх, отсюда у’=z’x+z .
2) После подстановки у, у’ в исходное уравнение получим ДУ с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция z(x).
3)После интегрирования в общем решении необходимо z заменить на отношение .
Слайд 54
![Пример Решить уравнение ху+ y2 = (2х2 +ху)у’ . Решение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-53.jpg)
Пример
Решить уравнение ху+ y2 = (2х2 +ху)у’ .
Решение.
Слайд 55
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-54.jpg)
Слайд 56
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-55.jpg)
Слайд 57
![Линейные уравнения первого порядка Определение. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-56.jpg)
Линейные уравнения первого порядка
Определение. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение
вида:
,
где у(х) – неизвестная функция.
Это уравнение линейно относительно у и у’ .
Если правая часть уравнения q(x) = 0, то получим уравнение
,
которое называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению.
Слайд 58
![Рассмотрим линейное уравнение Неизвестную функцию у(х) будем искать в виде](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-57.jpg)
Рассмотрим линейное уравнение Неизвестную функцию у(х) будем искать в виде произведения
неизвестных функций
у(х)=u(x)∙v(x), тогда y’=u’v+uv’. Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим:
Слайд 59
![Положим и найдем функцию v(x), решая это уравнение с разделяющи-мися переменными:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-58.jpg)
Положим и найдем функцию v(x), решая это уравнение с разделяющи-мися переменными:
Слайд 60
![Для нахождения u(x) подставим найденную функцию v(x) и ее производную](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-59.jpg)
Для нахождения u(x) подставим найденную функцию v(x) и ее производную
=
в
уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными
.
Решим его
Слайд 61
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-60.jpg)
Слайд 62
![Пример Найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-61.jpg)
Пример
Найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию
Слайд 63
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-62.jpg)
Слайд 64
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-63.jpg)
Слайд 65
![Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид: у = .](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-64.jpg)
Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
у = .
Слайд 66
![Учебный вопрос. Уравнения Бернулли.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-65.jpg)
Учебный вопрос.
Уравнения Бернулли.
Слайд 67
![Уравнения Бернулли. Определение. Дифференциальное уравнение вида , где α ≠](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-66.jpg)
Уравнения Бернулли.
Определение. Дифференциальное уравнение вида , где α ≠ 0,
1
называется уравнением Бернулли.
1)Предполагая, что у ≠ 0, разделим обе части уравнения Бернулли на уα. В результате получим:
Слайд 68
![2) Введем новую функцию . Тогда 3) Умножим уравнение на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-67.jpg)
2) Введем новую функцию . Тогда
3) Умножим уравнение на (-α+1)
и перейдем в нем к функции z(x):
Слайд 69
![4)Получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Это уравнение решается методом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-68.jpg)
4)Получили линейное неоднородное уравнение
1-го порядка. Это уравнение решается методом
множителей Бернулли.
5)Решив уравнение , подставим в его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли можно также решить, не делая замены переменных, а сразу применяя метод множителей Бернулли.
Слайд 70
![Пример Найти общее решение уравнения Решение.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-69.jpg)
Пример
Найти общее решение уравнения
Решение.
Слайд 71
![](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-70.jpg)
Слайд 72
![Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-71.jpg)
Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.
Слайд 73
![Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия. Определение. Уравнением](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-72.jpg)
Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.
Определение. Уравнением n-го порядка
называется уравнение вида
, (n>1) .
Задача Коши уравнения n-го порядка ставится следующим образом: найти решение y=y(x) удовлетворяющее начальным условиям
Слайд 74
![Определение. Общим решением ДУ n-го порядка называется функция y=φ(x,C1,C2,…,Cn), которая](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-73.jpg)
Определение. Общим решением ДУ n-го порядка называется функция y=φ(x,C1,C2,…,Cn), которая при
подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.
Слайд 75
![Задание на самостоятельную работу Вспомнить таблицу основных интегралов. [2] Н.С.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/94364/slide-74.jpg)
Задание на самостоятельную работу
Вспомнить таблицу основных интегралов.
[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004. с. 446-490.