Сумма углов треугольника презентация

доказать теорему о сумме углов треугольника;
вывести следствие из теоремы – свойство внешнего угла треугольника;
научить решать задачи на применение теоремы.
Цели урока:

Дано: АF||ВD,
AB= ВF, ∠В = 30°.
Доказать: ВD - биссектриса ∠СВF.
Найти: ∠А, ∠F, сумму углов ∆ АВF.

Доказательство: АF||ВD =>
∠BAF = ∠CBD–соответственные углы;
∠AFB = ∠FBD – накрест лежащие углы.
AB = BF => ∆ ABF – равнобедренный =>
∠FAB = ∠AFB (углы при основании равнобедренного треугольника) =>
∠CBD = ∠BDF => ВD - биссектриса ∠СВF.
A
Решение:
∠ABC = 180° – развернутый угол,
∠ABF + ∠FBD + ∠DBC = 180° =>
30° + 2∠FBD = 180° =>
2∠FBD = 180° – 30° = 150° => ∠FBD = 75° => ∠А = ∠F= 75° .
В ∆ АВF ∠А+∠F+ ∠ B=30°+ 75°+ 75°=180° => сумма углов ∆ АВF равна 180° .

Решение:
DЕ||АС => ∠DBA = ∠BAC,
∠ACB = ∠CBE – накрест лежащие углы.
∠DBE = 180° – развернутый угол => ∠DBA + ∠ABC + ∠CBE = 180°
В ∆АВС
∠A + ∠B + ∠C = 180° => сумма углов в ∆АВС равна 180°.

ЕВКЛИД

Евклид жил в Александрии.
Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты «Начала», состоящие из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии,
а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора.

Сумма углов треугольника равна 180°.
Теорема:
A
B
C
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°

E
D
B
A
C
1
2
3
б) ∠А = ∠1, ∠С = ∠3 – накрест лежащие углы;
Доказать: ∠A +∠B+∠С = 180°.
Доказательство:
а) Построим DЕ||АС через вершину В ∆АВС;
в) ∠DBE - развернутый угол, значит, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
∠A + ∠2+ ∠С = 180° , значит, в ∆АВС ∠A + ∠B + ∠С=180°.
Дано: ∆АВС.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним.
A
B
C
D
∠ ВСD — смежный с ∠С
треугольника АВС, значит,
∠ ВСD — внешний угол этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
СВОЙСТВО ВНЕШНЕГО УГЛА
ТРЕУГОЛЬНИКА:

Дано: ∆АВС, ∠ВСD - внешний угол ∆АВС.
Доказать: ∠ВСD = ∠А + ∠В.
Но так как ∠А + ∠В + ∠АСВ = 180° в ∆АВС, то
∠А + ∠В = 180° – ∠ACB => 180° – ∠ACB = ∠ВСD => ∠ ВСD = ∠ А + ∠ В.
Доказательство:
∠АСВ и ∠ВСD – смежные углы ∠ АСВ + ∠ВСD = 180° , значит , ∠ВСD = 180° – ∠АСВ.

Решение задач.
1. Найдите угол С треугольника АВС, если:
а) ∠А=65°, ∠В=57°;
б) ∠ А=24°, ∠ В=1ЗО°;
в) ∠ А=α, ∠ В=2α.

2. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса АD. Найдите ∠ АDС, если ∠ С=50°.
Домашнее задание.
П. 30, ответить на вопросы на странице 89.
Решить задачи №224, 228(а), 230.

Самостоятельная работа.
Вариант 1.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию.
Вариант 2.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.