Теорема Виета презентация

Вспомним:
Какое уравнение называется квадратным?
Какие виды квадратных уравнений вы знаете?
Какое уравнение называется неполным квадратным? Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
Какое выражение называется дискриминантом?
От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Решить устно уравнения
х2 – 36 = 0
х1 = 6, х2 = -6
у2 +49 = 0
нет решения
с2 – 7с = 0
с1 = 0, с2 = 7
5х2 = 0
х = 0

Составьте устно уравнения,
корнями которых являются числа:
а) 0 и 3
х² - 3х = 0
б) 7 и – 7
х² - 49 =0
в) – 5 и 5
г) - 2 и 2
х² - 4 =0
х² - 25 =0

Всякое квадратное уравнение ax2+b x + c = 0 делением обеих частей уравнения на а
может быть приведено к виду х2+p x + q = 0.
Например: 1) 2x2 -3x + 5 = 0 /:2
получим x2-1,5 x + 2,5 = 0
2) 1/3x2 +2x – 2/3= 0 /:1/3
получим x2 + 6x - 2 = 0
Определение:
Квадратное уравнение вида
х2+p x + q = 0
называется приведённым!

Открытие
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения
х2+p x + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Х1+ Х2= -Р Х1 • Х2 = q

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля.
В 1591 г. он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, что дало возможность записать общими формулами корни уравнения и свойства.
Его часто называют «Отцом алгебры».
Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый ученый Франсуа Виет (1540-1603)

Вейерштрасс
сказал, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе.
Нет формул важней для приведённого уравнения:
-p – это сумма его корней,
q – его корней произведение.

Применение теоремы Виета

Применение теоремы Виета
Проверка найденных корней квадратных уравнений.
1) х2 – 2х – 15=0 a=1 b= -2 c= -15
D= b2 - 4ac= 4 + 60= 64 >0 – два корня
х1=(2+8)/2 х2=(2-8)/2
х1=5 х2= - 3
По формулам Виета х1 + х2 = 2 х1х2 = - 15
Проверяем: 5 + ( - 3) = 2
5 ·( - 3) = - 15

Применение теоремы Виета
Проверка найденных корней квадратных уравнений.
2) у2 – 4у – 96 =0
a=1 b= -4 c= -96
D= b2 - 4ac= 16 + 384= 400 >0 – два корня
y1=(4+20)/2 y2=(4-20)/2
у1= 12 у2= -8
По формулам Виета у1 + у2 =4 у1у2 = - 96
Проверяем: - 8 + 12 = 4
- 8 · 12 = - 96

Составляем квадратное
уравнение
Пусть Х1 = 2, Х2 = – 6 – корни квадратного
уравнения
Х1 + Х2 = – 4, Х1·Х2 = – 12, тогда по теореме Виета
Х2 + 4Х – 12 = 0 – искомое квадратное уравнение
Применение теоремы Виета

Один из корней уравнения Х2 - 19Х +18 = 0 равен 1. Найти его второй корень
Пусть Х1 = 1 , тогда по теореме Виета
Х1 + Х2 = 19, Х1·Х2 = 18, т.е.
1 + Х2 = 19, 1·Х2 = 18
Значит Х2 = 18
Применение теоремы Виета

Один из корней уравнения 28Х2 + 23Х -5 = 0 равен -1. Найти его второй корень
Запишем приведённое квадратное уравнение:
Х2 + 23/28*Х - 5/28 = 0
Пусть Х1 = -1 , тогда по теореме Виета
Х1 + Х2 = -23/28 Х1·Х2 = -5/28, т.е.
-1 + Х2 = -23/28, -1·Х2 = -5/28
Значит Х2 = 5/28
Применение теоремы Виета

В.В. Маяковский
«Если звёзды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно»
найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его
зная один корень, найти другой
определить знаки корней уравнения
проверить, правильно ли найдены корни уравнения
Зачем нужна теорема Виета?
С её помощью можно :

Теорема, обратная теореме Виета
Если числа p, q, x1, x2 таковы, что
Х1+ Х2= -p и Х1 • Х2 = q
то x1 и x2 - корни уравнения х2+p x + q = 0

Угадываем корни
Х2 + 3Х – 10 = 0
Х1·Х2 = – 10, значит корни имеют разные
знаки
Х1 + Х2 = – 3, значит больший по модулю
корень - отрицательный
Подбором находим корни: Х1 = – 5, Х2 = 2
Применение теоремы,
обратной теореме Виета

Решите сами !
№ 450 (2,4,6)
№ 455 (2,4)
№ 456 (2,4,6)
Дома: п.29, знать ответы на вопросы 1-7 стр.183

Чосер – английский поэт средних веков, сказал:
Выучив теорему Виета, вы тоже разрешите для себя уйму всяких проблем .
“Посредством уравнений, теорем,
Я уйму разрешил проблем”.