Теория вероятностей на ЕГЭ презентация

Кодификатор
требований к уровню подготовки выпускников образовательных организаций для проведения
единого государственного экзамена
по МАТЕМАТИКЕ (фрагмент)
5. Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
5.4 Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий

Кодификатор
элементов содержания по МАТЕМАТИКЕ
для составления контрольных измерительных материалов
для проведения единого государственного экзамена (фрагмент)
6. Элементы комбинаторики, статистики и теории
вероятностей
Элементы комбинаторики
6.1.1 Поочередный и одновременный выбор
6.1.2 Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
Элементы статистики
6.2.1 Табличное и графическое представление данных
6.2.2 Числовые характеристики рядов данных
Элементы теории вероятностей
6.3.1 Вероятности событий
6.3.2 Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

Классическое определение вероятности
Теоремы о вероятностях событий
Классическое определение. Вероятность события равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу равновозможных исходов
где Р— вероятность события, 0≤ Р(А)≤1 , m— число благоприятствующих событию исходов, n — общее число равновозможных исходов.
Теорема: Вероятность суммы несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Теорема: Вероятность суммы любых случайных событий А и В вычисляется по формуле Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А ∙ В) .
Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:

ЕГЭ- Ященко И.В. Решение задачи по теории вероятностей Вариант 11, задача №4
Задача:
При изготовлении подшипников диаметром 69 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не более чем на 0,01 мм, равна 0,975. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 68,99 мм, или больше, чем 69,01мм.
Решение:
В данной задаче нужно найти вероятность превышения диаметра подшипника на 0,01 мм. Так как известна вероятность не превышения этого значения, то обратная вероятность будет равна
1-0,975=0,025.
Ответ: 0,025

Задание 4 № 320196 ege.sdamgia.ru
Задача:
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Решение:
По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.
Ответ: 0,035

ЕГЭ-2016 Математика, И.В. Ященко 36 вариантов
Вариант 8, Задание 4
Задача
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,95. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 17.
Решение:
Выделим два события:
- в автобусе меньше 12 пассажиров;
- в автобусе от 12 до 17 пассажиров.
Сумма вероятностей этих несовместных событий есть не что иное, как вероятность того, что в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, с известной вероятностью 0,95 (дана по условию задачи), т.е. можно записать равенство:
0,95 = Р(А) + Р(В).
Вероятность события А дана в задаче и равна 0,6, следовательно, вероятность события В равна
Р(В) = 0,95 - Р(А) = 0,95 – 0,6 = 0,35
Ответ: 0,35

Пробник ЕГЭ Профильный г. Самара, 2017
сайт alexlarin.net:
Задача:
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,93. Вероятность того, что окажется меньше 9 пассажиров, равна 0,54. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 9 до 17.
Решение:
Будем использовать теорему о сумме двух несовместных событий.
Тогда искомая вероятность будет равна
P = 0,93 − 0,54 = 0,39.
Ответ: 0,39

Вариант № 193 сайт alexlarin.net:
Задача:
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет‐ магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазинаА, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,7. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах.
Считая, что интернет‐магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение:
По теореме об умножении вероятностей имеем
P = (1 − 0,7)∙(1 − 0,8) = 0,06.
Ответ: 0,06

Прототип задания 4
Задача: По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение:
(1-0,8)∙(1-0,9) =
= 0,2∙0,1 = 0,02.
Ответ: 0,02

Реальное задание №4 сайт alexlarin.net:
Задача:
Перед началом футбольного матча капитаны команд подбрасывают монету. Какова вероятность того, что команда «Статор» будет начинать все три матча?
Решение:
Вероятность начинать матч равна 0,5.
Тогда вероятность начинать все три матча равна
P = 0,5∙0,5∙0,5 = 0,125.
Ответ: 0,125

Прототип задания4 №501001 Сайт «Решу ЕГЭ»
Задача:
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение (I способ):
Можно перечислить все возможные случаи бросания монетки:
ООО, ООР, ОРО, ОРР,
РОО, РОР, РРО, РРР
и найти, в скольких из них орел выпал ровно два раза: ООР, ОРО, РОО. Тем самым, вероятность выпадения орла дважды равна 3 : 8 = 0,375.
(Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки).

Прототип задания 4 № 501001 Сайт «Решу ЕГЭ»
Задача: В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.
Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: (II способ)
По формуле - следствию формулы Бернулли
где n = 3 - число бросаний монеты, m = 2 – число выпавших орлов, получим
Следовательно, искомая вероятность равна 3/8=0,375.
Ответ: 0,375

Прототип задания №4
Задача: В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: (I способ)
Число благоприятных исходов m = 10:
ООРРР ОРОРР ОРРОР ОРРРО РООРР РОРОР РОРРО РРООР РРОРО РРРОО
из n = 32 равновозможных исходов.
Вероятность равна m/n =
= 10/32 = 0,3125
Ответ: 0,3125

Прототип задания №4
Задача: В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Решение: (II способ)
Число равновозможных исходов n = 25 = 32. Число благоприятных исходов
Вероятность равна
10/32 = 0,3125
Ответ: 0,3125

Прототип задания4 [e-mail]
Задача: Бросили шесть монет. Какова вероятность того, что число выпавших «гербов» будет больше числа выпавших «решек»? Ответ округлите до сотых.
Решение:
«Гербов» будет больше числа выпавших «решек» в следующих случаях:
ОООООО, ОООООР, ООООРР
Ответ: 0,34

Прототип задания №4
Задача: Бросили шесть монет. Какова вероятность того, что число выпавших «гербов» будет вдвое больше числа выпавших «решек»? Ответ округлите до тысячных.
Решение:
«Гербов» будет вдвое больше числа выпавших «решек» в случае выпадения четырех «гербов» и двух «решек»: ООООРР, тогда
Ответ: 0,234

Задача:
На борту самолета 25 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Б. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Б. достанется удобное, если всего в самолете 500 мест.
Решение:
Искомая вероятность находится согласно классическому определению вероятности, то есть,
Ответ: 0,08

Задача: Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах.
60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории.
Всего высшую категорию получает 55% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение:
Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1- х — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:
0,6х + (1-х)∙0,4 = 0,55
0,2х = 0,15; х = 0,75
Ответ: 0,75

Прототип задания
Задача: Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 70% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение:
Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда 1- х — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:
0,6х + (1-х)∙0,7 = 0,65
- 0,1х = - 0,05; х = 0,5
Ответ: 0,5

Прототип задания
Задача:
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 2, но не делится на 12.
Ответ округлите до сотых.
Решение:
Равновозможных исходов 6∙6=36, благоприятных 27- 7 = 20, искомая вероятность равна 20/36 = 0,555…≈ 0,56.
Ответ: 0,56

Прототип задания4 № 282853 Сайт «Решу ЕГЭ»
Задача: В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение:
Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5:
2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6∙6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна
5/36 = 0,138…≈ 0,14.
Ответ: 0,14

Прототип задания4 № 283461 Сайт «Решу ЕГЭ»
Задача:
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков.
Результат округлите до сотых.
Решение:
Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 6 очков, равно 10:
1 + 1 + 4, 1 + 4 + 1, 4 + 1 + 1,
1 + 2 + 3, 1 + 3 + 2, 3 + 1 + 2,
3 + 2 + 1, 2 + 1 + 3, 2 + 3 + 1,
2 + 2 + 2.
Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6 · 6 · 6 = 216. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков, равна
Ответ: 0,05

Из реальных вариантов ЕГЭ
Задача:
Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Решение:
В среднем без дефектов выпускают 92 сумки из каждых 100, поэтому искомая вероятность равна 92/100 = 0,92.
Ответ: 0, 92

Из реальных вариантов ЕГЭ
Ранее это задание было сформулировано следующим образом.
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение:
По условию из любых
100 + 8 = 108 сумок
в среднем 100 качественных сумок.
Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна
Ответ: 0,93

Задача:
В большой партии насосов в среднем на каждые 144 исправных приходится 6 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется исправным.
Решение:
По условию из любых
144 + 6 = 150 насосов
в среднем 144 исправных насосов.
Значит, вероятность того, что, случайно выбранный насос окажется исправным
равна 144/150 = 0,96.
Ответ: 0,96

Прототип задания
Задача: За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.
Решение:
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 4 человека, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность, что девочки будут сидеть рядом, равна
Ответ: 0,5

Прототип задания4 №325913 Сайт «Решу ЕГЭ»
Задача: За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом.
Решение:
Пусть первой за стол сядет девочка, тогда рядом с ней есть два места, на каждое из которых претендует 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом, вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна 2:8=0,25.
А вероятность того, что девочки не будут сидеть рядом, равна 1- 0,25 = 0,75.
Ответ: 0,75

Прототип задания4 №320210 Сайт «Решу ЕГЭ»
Задача: Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение:
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836

Задание №4
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.
Решение:
Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий:
A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована.
Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) =
0,02∙0,99 + 0,98∙0,01=
0, 0198 + 0,098 = 0,0296.
Ответ: 0,0296

Трудные задания ЕГЭ–Ященко И.В.
36 вариантов профильный уровень Вариант19
Задача: При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена.
Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?
Решение: Вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 1 – 0,3 = 0,7
Р(2) = Р(1)∙(1-0,9) = 0,07
Р(3) = Р(2)∙(1-0,9)=0,007
1 – 0,96 = 0,04
0,007 < 0,04, значит достаточно трех выстрелов.
Ответ: 3

Прототип задания №4
Проводится жеребьёвка Лиги Чемпионов. На первом этапе жеребьёвки восемь команд, среди которых команда «Барселона», распределились случайным образом по восьми игровым группам — по одной команде в группу. Затем по этим же группам случайным образом распределяются еще восемь команд, среди которых команда «Зенит». Найдите вероятность того, что команды «Барселона» и «Зенит» окажутся в одной игровой группе.
Решeние:
По результатам первой жеребьёвки команда «Барселона» находится в одной из 8 групп. Вероятность того, что команда «Зенит» окажется в той же игровой группе равна одной восьмой.
Ответ: 0,125

Прототип задания4 https://ege.sdamgia.ru
Задача:
На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием.
Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии?
Результат округлите до сотых.
Решeние:
Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих
(Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):
...Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...
Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна
Ответ: 0,33

Трудные задания Прототип задания4 № 319353
Задача: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решeние:
Вероятность того, что стекло сделано на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019

Трудные задания Прототип задания4 № 320172
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3.
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решeние: (I способ)
Рассмотрим события
А - кофе закончится в первом автомате,
В - кофе закончится во втором. Тогда
A· B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном .
По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы равна
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A· B) =
= 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Значит, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52

Трудные задания Прототип Задания4 № 320172
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение: (II способ)
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате, равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A· B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52.
Ответ: 0,52