Циліндр, його елементи. Переріз площинами презентация

Циліндр, його елементи.
Переріз площинами

План:
Тіла обертання
Означення циліндра
Елементи циліндра
Перерізи циліндра
Площа поверхні циліндра
Розв’язування задач

Ніколи ще до нашого часу ми не жили в такий геометричний період…
Навколишній світ – це світ геометрії, чистий, істинний, бездоганний у наших очах. Все навколо - геометрія.
Ле Корбюзьє

Тіла та поверхні обертання
Уявимо, що плоский многокутник АВСВ обертається навколо прямої АВ (рис. 1, а). При цьому кожна його точка, що не належить прямій АВ, описує коло з центром на цій прямій.
Весь многокутник АВСВ, обертаючись навколо прямої АВ, описує деяке тіло обертання (рис. 1, б). Поверхня цього тіла називається поверхнею обертання. Пряму АВ називають віссю обертання цього тіла.
Будь-яка площина, що проходить через вісь тіла обертання, перетинає це тіло. Утворений переріз називають осьовим перерізом тіла обертання.

Циліндр - грец. κύλινδρος — валик

Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами, що до­рівнюють висоті циліндра і діаметру його основи.

Види циліндрів
еліптичний гіперболічний параболічний

ОСЬОВИЙ ПЕРЕРІЗ
Якщо січна площина проходить через вісь циліндра, то січна являє собою прямокутник, дві сторони якого – твірні, а дві інші – діаметри основ циліндра. Переріз ABCD називається осьовим.
A
D
C
B

Теорема 1: Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник.
Доведення: Дійсно, січна площина перетинає бічну поверхню циліндра по твір­них АВ і СD, які рівні і паралельні, крім того, АВ АD, СD АD. Отже, чотирикутник АВСD — прямокутник.

КРУГОВИЙ ПЕРЕРІЗ
Круговий переріз – це переріз циліндра площиною, паралельною його основам.Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яку дорівнює колу основи.
С
О
γ
α

Теорема 2: Переріз циліндра площиною, паралельною основам циліндра, є круг, який дорівнює основі
Доведення:
Дійсно, січна площина перетинає циліндр по кругу, бо, якщо вико­нати паралельне перенесення уздовж осі циліндра, яке суміщає січну площину з площиною основи циліндра, то переріз суміститься з кругом.

Переріз циліндра площиною, паралельною його осі
(KLMN) || AB
KLMN – прямокутник
NK і LM – твірні циліндра
NK – висота циліндра
A
B
M
K
L
N

ПРЯМИЙ КРУГОВИЙ ЦИЛІНДР
Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ.
При обертанні прямокутника навколо його сторони як осі утворюється циліндр.
ABCD – прямокутник, АВ – вісь утвореного циліндра (AB || CD).
D
C
А
В

Площа поверхні циліндра
Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та його основ.
Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою:
R

Об’єм циліндра
V=?R²h, R – радіус основи циліндра;
h- висота циліндра
V=SH, S- площа основи

ДОТИЧНА ПЛОЩИНА ДО ЦИЛІНДРА
Дотичною площиною до циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.

Використання циліндрів

Задача №1
В циліндр площа основи дорівнює Q, а площа осьового перерізу S. Визначити повну поверхню циліндра.
Розв’язанння:
Відповідь:
D
A
C
O1
O

Задача №2
Висота циліндра дорівнює 7 см, радіус 5 см. Знайти площу перерізу циліндра площиною, паралельною до його осі, якщо відстань між площиною і віссю циліндра дорівнює 3 см.
Розв’язанння:
Відповідь:
O
O1
A
B
C
D
K
H
R

ОТЖЕ:

Вписані та описані призми.
Призмою, описаною навколо циліндра, називається призма, в якій площини основ є площинами основ циліндра, а бічні грані дотикаються до бічної поверхні циліндра.
Циліндр можна вписати в пряму призму, якщо її основа – многокутник, в який можна вписати коло.
Висота циліндра, вписаного в призму, дорівнює висоті призми.

Призмою, вписаною в циліндр, називається призма, в якій площинами основ є площини основ циліндра,а бічними ребрами – твірні циліндра.
Призму можна вписати в циліндр, якщо вона пряма та її основа – многокутник, який можна вписати в коло. Висота циліндра, описаного навколо призми, дорівнює висоті призми.

Циліндр вписаний в призму
Знайдемо відношення об'єму призми до об'єму вписаного в неї циліндра:
p — півпериметр підстави призми, r — радіус вписаного в основу призми кола і радіус циліндра, H — висота призми і висота циліндра.

Зокрема, відношення об'єму правильної трикутної призми до об'єму вписаного циліндра
Відношення об'єму правильної чотирикутної призми до об'єму вписаного циліндра

Циліндр описаний навколо призми
Знайдемо відношення об'єму призми до об'єму описаного навколо неї циліндра:
Зокрема, відношення об'єму правильної трикутної призми до об'єму описаного циліндра
Відношення об'єму правильної чотирикутної призми (тобто прямокутного паралелепіпеда, в підставі якого лежить квадрат) до об'єму описаного біля неї циліндра рівне
Відношення об'єму правильної шестикутної призми до об'єму описаного біля неї циліндра

Формули обчислення радіусу R описаного кола, а,b,c — сторони,
h — висота, d — діагональ.

Формули обчислення радіусу r вписаного кола
Де h — висота, S — площа, p — півпериметр, а — сторона.