Усеченная пирамида презентация

СОДЕРЖАНИЕ
1. Исторические сведения
2. Выдающиеся личности
3. Литературные высказывания
4. Объяснение материала
4.1 Определения
4.2 Виды 4.3 Элементы
4.4 Сечения
4.5 Площадь:
4.5.1 Основание
4.5.2 Боковые поверхности
4.5.3 Площадь полной поверхности
4.6 Объем
4.7 Развертка усеченной пирамиды
5. Задачи
6. Применение
7. Обратная связь
8. Сказка

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам.
Пирамида Чичен - Ица
Египетские пирамиды

ВЫДАЮЩИЕСЯ ЛИЧНОСТИ
Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит , а доказал Евдокс Книдский

Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке

ВЫСКАЗЫВАНИЯ ПРО ПИРАМИДУ
Общественная жизнь, по сути – одновременно глупая и хитря финансовая пирамида.
Во властной пирамиде, так же как и в пищевой, жирное и сладкое располагается наверху.

Египтяне их сложили
И так ловко смастерили,
Что стоят они веками.
Догадайтесь, дети, сами
Что же это за тела,
Где вершина всем видна?
Догадались? Из – за вида
Всем известна…

ОБЪЯСНЕНИЕ МАТЕРИАЛА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
Усеченной пирамидой называется многогранник, у которого вершинами служат вершины основания и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию

Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой

Плоскость параллельная основанию пирамиды, разбивает ее на два многогранника. Один из них является пирамидой, а другой называется усеченной пирамидой. Усеченная пирамида – это часть полной пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию данной пирамиды

ВИДЫ
УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
Произвольная
пирамида
Правильная
пирамида
Наклонная
пирамида

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию

НАКЛОННАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Наклонной считается пирамида, у которой проекция первого основания не совпадает с проекцией второго основания

ЭЛЕМЕНТЫ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

1. ОСНОВАНИЕ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченной пирамиды, остальные грани называют боковыми гранями
основание1
основание2
Свойство:
Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

2. БОКОВЫЕ ГРАНИ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
Грани усеченной пирамиды, не лежащие в параллельных плоскостях, называются боковыми гранями усеченной пирамиды
Боковые грани
Боковые грани
Боковые грани
Свойство:
Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.
Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

3. АПОФЕМА – УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
Высота боковой грани называется апофемой
Апофема
Апофема

4. ВЫСОТА
Перпендикуляр, проведенный из какой – нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называются высотой усеченной пирамиды
Высота

5. БОКОВЫЕ РЕБРА
Прямые, соединяющие вершины основания с вершиной трапеции, есть боковые ребра.
Боковые
ребра
Боковые
ребра
Свойство:
Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

6. ДИАГОНАЛЬ
Диагональ
Отрезок соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани
называется диагональю

СЕЧЕНИЯ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

1. ДИАГОНАЛЬНОЙ СЕЧЕНИЕ
Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, не лежащих в одной грани, называется диагональным.

2. ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
Сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра усеченной пирамиды, лежащих в одной грани, называется вертикальным

3. ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это горизонтальной сечение.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

ПЛОЩАДЬ ОСНОВАНИЯ
Чтобы найти площадь основания у
усеченной пирамиды, умножаем
одну боковую грань на другую
a
a1
b
b1

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды представляет собой сумму площадей ее сторон
где n – количество боковых сторон,
S1 – площадь нижнего основания
b
S1

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРАВИЛЬНОЙ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полупроизведению суммы периметров ее основания и апофемы
где Р1 – периметр нижнего основания,
Р2 – периметр верхнего основания,
l - апофема
Р2
Р1
l

ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
где S1 и S2 – площади оснований
усеченной пирамиды,
Sбок – площадь боковой поверхности
усеченной поверхности
S1
S2
Sбок

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
где Н – длина высоты усеченной пирамиды,
S1 и S2 - площади оснований
S2
S1
Н

РАЗВЕРТКА ПРАВИЛЬНОЙ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ

ЗАДАЧА №1

ЗАДАЧА №2

Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равен 3 м, стороны оснований 5 м и 1 м. Найти объем пирамиды.
Дано:
H=3м,
а=1м,
b=5м
Найти: V-?

ЗАДАЧА №3

Задача. В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.
1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле
V = 1/3H · (S1 + S2 + √(S1 · S2)), где S1 – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),
т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.
Имеем: p1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.
S1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:
S1/S2 = (P1)2/(P2)2 = 1082/722 = 9/4. Отсюда S2 = 4S1/9 = 4 · 270/9 = 120.
Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.
Ответ: 1900.

ЗАДАЧА №4

Задача. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 2 см, а стороны оснований — 3 см и 5 см. Найдите диагональ этой пирамиды.
Решение:
Диагональным сечением данной пирамиды является равнобокая трапеция АА1С1С.
Так как A1С1 и АС — диагонали квадратов, A1B1C1D1 и ABCD, то
Проведем A1K⊥AC и C1H⊥AC. Тогда А1С1HK — прямоугольник и А1С1 = КН.
Так что, прямоугольные треугольники АА1К и СС1Н равны по гипотенузе и катету.

Тогда,
и по теореме Пифагора в ΔА1СК:
Тогда,
Ответ: 6 см.

ПРИМЕНЕНИЕ

По фэн-шуй, детали интерьера, выполненные в форме пирамиды, способны генерировать положительную и целебную энергию. Пирамиды устраняют вокруг себя геопатогенное воздействие и гармонизируют внутреннее пространство помещений.

Усеченная пирамида в архитектуре

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

СКОЛЬКО СУЩЕСТВУЕТ ВИДОВ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ?
3 вида

ВЫДАЮЩИЕСЯ ЛИЧНОСТИ СВЯЗАННЫЕ С ПИРАМИДОЙ?
Евклид, Демокрит,Евдокс Книдский

КАК НАЗЫВАЕТСЯ ВЫСОТА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ?
Апофема

КАКАЯ ИЗ ЭТИХ УСЕЧЕННЫХ ПИРАМИД НАКЛОННАЯ?
1
2
3
1

СКАЗКА