Слайд 2
![Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b](де a Розбити цей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-1.jpg)
Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b](де a < b), і
якщо:
Розбити цей відрізок на n частинних відрізків довжиною Δx1, Δx2, ..., Δxn;
Вибрати на кожному частинному відрізку по одній довільній точці ε1, ε2, ..., εn;
Обчислити значення функції f(x) у вибраних точках;
Скласти суму
то вона називається інтегральною сумою f(x) на відрізку [a;b].
Слайд 3
![Означення Якщо по різному ділити відрізок [a;b] на n частинних](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-2.jpg)
Означення
Якщо по різному ділити відрізок [a;b] на n частинних відрізків і
по-різному вибирати на них по одній точці εi, то можна для будь-якої неперервної функції f(x) і будь-якого заданого відрізка [a;b] скласти нескінченну множину різних інтегральних сум.
При цьому виявляється, що всі ці інтегральні суми при необмеженому зростанні n при прямуванні до нуля найбільшої із довжин частинного відрізка, мають одну і ту ж границю.
Ця границя всіх інтегральних сум функції f(x) на відрізку [a;b] називається визначеним інтегралом від f(x) в межах від a до b та позначається:
Слайд 4
![Властивості визначеного інтеграла 1) При перестановці меж інтегрування знак інтегралу](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-3.jpg)
Властивості визначеного інтеграла
1) При перестановці меж інтегрування знак інтегралу змінюється на
протилежний:
2) Інтеграл з однаковими межами дорівнює нулю:
3) Відрізок інтегрування можна розбити на частини:
4) Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від кожного доданку:
Слайд 5
![5) Постійний множник k можна виносити за знак інтеграла: Для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-4.jpg)
5) Постійний множник k можна виносити за знак інтеграла:
Для обчислення визначеного
інтеграла використовується формула Ньютона-Лейбніца:
(1)
тобто, визначений інтеграл дорівнює різниці значень невизначеного інтеграла при верхній та нижній межах інтегрування.
Слайд 6
![Приклад 1. Приклад 2.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-5.jpg)
Слайд 7
![2. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі. Якщо визначений інтеграл](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-6.jpg)
2. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі.
Якщо визначений інтеграл перетворюється за
допомогою підстановки:
в інший інтеграл, з новою змінною t, то задані межі: змінюються новими межами:
, які визначаються з вибраної підстановки, тобто з рівнянь:
Якщо неперервні на відрізку:
то:
(2)
Слайд 8
![Приклад 3.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-7.jpg)
Слайд 9
![Інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Якщо підінтегральний вираз у визначеному](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-8.jpg)
Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
Якщо підінтегральний вираз у визначеному інтегралі
можна представити у вигляді добутку двох співмножників: u, dv, то для обчислення визначеного інтегралу треба скористатися формулою інтегрування частинами:
Слайд 10
![Приклад 4.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-9.jpg)
Слайд 11
![3. Невласні інтеграли. а) Інтеграли з нескінченними межами. Означення. Якщо](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-10.jpg)
3. Невласні інтеграли.
а) Інтеграли з нескінченними межами.
Означення. Якщо існує скінченна границя:
то цю границю називають невласним інтегралом від функції ,
в інтервалі і позначають:
Слайд 12
![Тобто: (3) У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-11.jpg)
Тобто: (3)
У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або він є
збіжним. Якщо не має
скінченної границі, то кажуть, що
не існує, або він розбіжний.
Аналогічно визначаються:
Слайд 13
![Приклад. Обчислити інтеграл: Розв’язок:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-12.jpg)
Приклад. Обчислити інтеграл:
Розв’язок:
Слайд 14
![б) Інтеграли від розривних функцій. Якщо функція визначена та неперервна](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/422158/slide-13.jpg)
б) Інтеграли від розривних функцій.
Якщо функція визначена та неперервна у відкритому
інтервалі: ,а у точці x=b невизначена, або має розрив, тоді інтеграл визначають наступним чином:
Якщо границя, що стоїть у правій частині рівності, існує, то інтеграл називають невласний збіжний інтеграл, у протилежному випадку – розбіжний.
У випадку, коли функція має розрив у точці x = a відрізка [a, b], то за означенням