Задачи по планиметрии презентация

Задача №1
На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, Н – точка пересечения прямых СМ и DK.
а) Докажите, что CM⊥DK.
б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 6 и 8.

а) ∆АСМ-р/б ⇨∠САМ=∠АСМ
∠АСМ=∠НСК(верт)
△АСВ=△DCK(по 2 катетам)⇨∠АВC=∠DKC
△ACB∾△CHK(1пр) ⇨ ∠СНК=∠АСВ=900
Т.к ∠СНК=900 , то СМ⊥DK
A
B
C
E
D
K
F
M
H

б) МН=СМ+СН
СМ=½АВ=5
СН=
МН=9,8
A
B
C
E
D
K
F
M
H

2 способ
С
А
В
х
у
Е
D
F
K
M
а)

Задача №2
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН:АС, если ∠АВС=300.

а)△КОН∾△МОЕ(1пр)⇨
△КОС∾△МОА(1пр)⇨
△НОЕ∾△СОА(2пр)⇨
∠ОСА=∠ОНЕ
∠ОСА и ∠ОНЕ- соответ., то НЕ‖АС
O
A
B
C
K
M
E
H

б)Т.к. △НОЕ∾△СОА, то
∠СКН=∠САВ=30
СК=х, тогда СН=½х
∠КОС=30 ⇨СО=2х
ОН=2х-½х=1,5х
O
A
B
C
K
M
E
H

Задача №3
В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию AD. Из точки А на сторону CD опустили перпендикуляр АН. На стороне АВ отмечена точка Е так, что прямые CD и СЕ перпендикулярны.
а) Докажите, что ВН и ED параллельны.
б) Найдите отношение ВН:ЕD, если ∠BCD=1350.

а) △КВС∾△KAD(1пр)⇨
КВ=a⋅АК, КС=a⋅KD
△КEС∾△KAH(1пр)⇨
КЕ=b⋅КА, КС=b⋅КН
△КВН∾△КВD(2пр)⇨
∠КНВ=∠KDE, соотв., то ВН‖ED
A
B
C
D
H
E
K

б) Т.к.∠BCD=1350, ∠CDА=450
△KAD –р/б, АК=АD, АН- высота ⇨ АН- медиана
Н- середина КD⇨
Т.к. △КВН∾△КЕD, то
A
B
C
D
H
E
K

Задача №4
В трапеции ABCD точка Е – середина основания AD, точка М – середина боковой стороны АВ. Отрезки СЕ и DM пересекаются в точке О.
а) Докажите, что площади четырехугольника АМОЕ и треугольника COD равны.
б) Найдите какую часть площадь четырехугольника АМОЕ составляет от площади трапеции ABCD, если ВС=3, AD=4.

а)
O
A
B
C
D
E
M
K
H

б) Пусть СН=h
MN=3,5 KN=1 MK=2,5
△МОК∾△DOE(1пр)⇨
O
A
B
C
D
E
M
K
H
N
K
P
L

Задача № 5
Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника делит его площадь пополам, а другой в отношении 11:17.
а) Докажите, что четырехугольник – трапеция.
б) Найдите отношение оснований трапеции.

а)
△АМD, MN- медиана ⇨
Т.к. ВМ=МС и
, то DH=AK
Расстояние от точек А и D до прямой ВС равны, то AD‖BC
Стороны АВ и СD не параллельны
A
B
C
D
M
N
H
K
E
F