Движение тела вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести. Случай Лагранжа презентация

1. Уравнения Пуассона
неподвижная система координат
подвижная система координат (ПСС), жестко связанная с телом
центр тяжести
единичный вектор верт. оси OZ
в ПСС
Уравнения Пуассона
Выражение компонент орта через углы Эйлера

2. Динамические уравнения Эйлера при наличии силы тяжести
Динамические уравнения Эйлера в общем случае
Динамические уравнения Эйлера для движения тяжелого твердого тела

3. Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
Замкнутая система уравнений для нахождения
После нахождения
зависимости
находятся из условий
а оставшийся угол Эйлера
из одного из кинематических уравнений Эйлера

4. Первые интегралы системы
1)
2) Теорема об изменении кинетического момента
Реакция опоры и сила тяжести не создают момента относительно оси OZ
3) Сохранение энергии
Из общей теории множителя Якоби известно, что для того, чтобы интегрирование исходной системы можно было свести к квадратурам при любых начальных условиях, нужно найти еще один независимый от них интеграл.

5. Известные случаи интегрируемости
А) Случай Эйлера: тело произвольно, но его центр тяжести находится в неподвижной точке О
дополнительный интеграл
В) Случай Лагранжа: эллипсоид инерции тела для неподвижной точки является эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения
дополнительный интеграл
С) Случай Ковалевской: эллипсоид инерции для точки О является эллипсоидом вращения вокруг оси Oz, момент инерции относительно этой оси вдвое меньше двух других, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции
дополнительный интеграл

6. Вывод уравнения для угла нутации в случае Лагранжа
(1)
(2)
(3)
(4)
(4)
(2)
(3)
(1)

7. Качественный анализ движения ТТ в случае Лагранжа
Сферическое представление движения тела
апекс
ось динамической симметрии
Движение апекса А по сфере изображает движение оси , т. е. прецессию и нутацию

8. Быстро вращающееся тело: псевдорегулярная прецессия
Начальные условия
размерности
Аргументами должны являться безразмерные комплексы, а не размерные параметры, иначе ответ будет зависеть от единиц измерения
Быстро вращающееся тело – большие – малые значения параметра
случай Эйлера вращения симметричного тела
(регулярная прецессия)
Раскладывая в ряд Тейлора
точный результат
Когда велика, изменение угла нутации настолько мало, что прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало отличающаяся от регулярной, называется псевдорегулярной прецессией.