Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля. Лекция 2 презентация

Теоремы Остроградского – Гаусса и Стокса
Теорема Остроградского – Гаусса позволяет преобразовать объемный интеграл в поверхностный, а теорема Стокса – поверхностный интеграл в линейный для произвольных функций, непрерывных вместе со своими первыми производными
в исследуемых областях.
Запишем выражение для электрического заряда в некоторой области V, ограниченной замкнутой поверхностью S, и применим постулат Максвелла к левой и правой части этого уравнения:
Теорема Остроградского – Гаусса: Интеграл от дивергенции вектора D по некоторому объему равен интегралу от вектора D по замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем.
16

Используя выражение для электрического тока через некоторую поверхность S , ограниченную контуром l , и применив закон полного тока к обеим частям этого уравнения, получим:
Теорема Стокса: Интеграл от ротора вектора H по некоторой поверхности равен интегралу от вектора H по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность

Электростатическое поле

Определение электростатического поля
Электростатическое поле создается неподвижными (по отношению к наблюдателю) электрическими зарядами. В таком поле отсутствуют электрические токи (J=0), а, следовательно, (при отсутствии намагниченных тел) и магнитное поле (H=0; B=0).
Из полной системы уравнений электромагнитного поля для электростатического
поля получаем:
.
В реальных устройствах объемные заряды в диэлектрике не могут находиться в покое, т.е. появляются электрические токи, что нарушат статичность поля. Поэтому во многих случаях второе уравнение имеет нулевую правую часть:

Потенциальность электростатического поля
- из теоремы Стокса
Это соотношение определяет независимость интеграла между фиксированными
точками от пути интегрирования
Векторное поле , ротор которого равен нулю , называется безвихревым или потенциальным
- электрический потенциал
P - точка нулевого потенциала

Связь между потенциалом и напряженностью
электрического поля
Скорость изменения потенциала вдоль некоторого направления равна
проекции вектора напряженности электрического поля на это направление со знаком минус.

Проводя кривую « l » по разным направлениям, получим:
1. Проходя через точку «a» в направлении осей координат:
2. Проходя через точку «a» по линии перпендикулярно вектору напряженности
электрического поля и вдоль него по линии , получим:
Поверхности, перпендикулярные силовым линиям,
называются равнопотенциальными
(эквипотенциальными). Это направление
обозначают через «a»

Направление вдоль линии напряженности перпендикулярно поверхности равного потенциала. Часто это направление обозначают через «n», имея в виду нормаль к равнопотенциальной поверхности, тогда последнее соотношение можно записать иначе:
Производная ведет себя как вектор, имеет составляющие, определяемые
направляющими косинусами, и называется градиентом потенциала.

Уравнения Пуассона и Лапласа
Преобразуем уравнения электростатического поля, выразив векторные величины
через потенциал:
Если
- уравнение Пуассона в инвариантной форме
- уравнение Лапласа
уравнение Пуассона в декартовой системе
координат
- оператор Лапласа

Основная задача электростатики
Распределение потенциала в пространстве позволяет определить напряженность электрического поля , вектор смещения и поляризации в любой точке пространства
Определение потенциала обычно является более простой задачей, чем расчет напряженности, поскольку:
Он является скалярной, а не векторной величиной
Граничные условия проще;
Потенциал может быть определен как решение одного дифференциального уравнения, в то время, как напряженность определяется решением системы трех уравнений;
Потенциал – функция непрерывная, напряженность электрического поля на границах раздела сред с разными диэлектрическими проницаемостями может изменяться скачком.
Поэтому определение пространственного распределения потенциала часто называют основной задачей электростатики
Общей задачей расчета электрического поля является определение напряженности во всех его точках по заданным зарядам или потенциалам тел.

Определение потенциала по заданному распределению заряда
Для уединенного точечного заряда:
Для совокупности точечных зарядов, распределенных в ограниченной по размерам области пространства:
Если задана система тел с зарядами, причем известно распределение зарядов в пространстве, то можно все распределенные заряды разбить на элементарные заряды dq , каждый из которых можно рассматривать как точечный. Составляющая потенциала от каждого элементарного точечного заряда равна:
Потенциал от совокупности элементарных зарядов получаем интегрированием:

Определение потенциала по заданному распределению зарядов
Объемное распределение заряда: dq = ρ dV.
Распределение зарядов на поверхности проводников dq = σ ds
Линейное распределение зарядов вдоль тонких проводников dq = τ dl

Определение потенциала по заданному распределению зарядов